По выполнению контрольных работ

Задание1: Вычислить пределы.

а) lim 2+6х+1 б) lim х – 7 в) lim sin 20x

х→∞2 – х х→7 х2 - 49 х→0 tg 7x

Решение:

а) Имеем lim 2+6х+1 = (неопределенность вида ∞/∞ , разделим числитель и

х→∞2 – х знаменатель дроби на старшую степень х )

= lim 22 + 6х/х2 + 1/х2 = lim 7 + 6/х + 1/х2 = 7 + 0 + 0 = 7

х→∞22 – х/х2 х→∞ 6 – 1/х 6 – 0 6

б) Имеем lim х – 7 = ( неопределенность вида 0/0, разложим на множители

х→7 х2 - 49 знаменатель дроби и сократим)

= lim х – 7 = lim 1 = 1 = 1

х→7 (х – 7)(х+7) х→7 х + 7 7+7 14

в) lim sin 20x = (воспользуемся первым замечательным пределом lim sin x = 1 )

х→0 tg 7x х→0 x

= lim sin 20x = lim sin 20x cos 7x = lim sin 20x lim cos 7x = (lim cos 7x = 1 )

х→0 sin 7x/cos7x х→0 sin 7x х→0 sin 7x х→0 7x х→0 7x

= lim sin 20x 20x 7x = lim sin 20x lim 7x lim 20x = 1·1·20 = 20

х→0 20x sin 7x 7x х→0 20x х→0 sin 7x х→0 7x 7 7

Задание 2. Найти производную а) у = 8х5 + 2х2 – 14х – 222

б) y = (x+1)· cos x

в) y = x + 7

x – 3

г) y = (5x2 +2x)7

Решение:

а) Воспользуемся формулой производной степенной функции (xn)' = n(x) n-1

и следующими правилами дифференцирования: (u+v)' = u' + v'

(C u)' = C(u)'

у' = (8х5 + 2х2 – 14х – 222)' = 8(х5)'+ 2(х2)' – 14(х)' – (222)' =

= 8·5x4 + 2·2x – 14·1 – 0 = 40x4 + 4x – 14

б) Воспользуемся формулой производной произведения (u·v)' = u'·v + u·v'

y' = ((x+1)· cos x)' = (x+1)' cosx + (x+1) (cosx)' = cos x + (x+1)(- sin x)

в) Воспользуемся формулой производной частного (u)' = u'·v – u·v'

v v2

y' = x + 7 ' = (x+7)'(x – 3) – (x+7)(x – 3)' = 1·(x – 3) – (x+7)·1 = x–3–x–7 = - 10

x – 3 (x – 3)2 (x – 3)2 (x – 3)2 (x – 3)2

г) Воспользуемся формулой производной сложной функции (u(v))' = u'·v'

y' = ((5x2 +2x)7) ' = 7(5x2 +2x)6(5x2 +2x) ' = 7 (5x2 +2x)6 (10х+2)

Задание 3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график: y = 3х – х3 – 1

Решение:

Для исследования функции и построения ее графика воспользуемся схемой:

  1. Найти область определения функции;
  2. Проверить четность, нечетность, периодичность функции;
  3. Найти нули функции, точки пересечения графика с осями координат (если это возможно)
  4. Найти асимптоты графика функции;
  5. Найти промежутки возрастания и убывания функции, ее экстремумы;
  6. Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
  7. Построить график функции, используя результаты исследования.

Для более точного построения можно найти дополнительные точки графика, вычислив значения функции в некоторых точках.

Реализуем указанную схему.

1) О.О.Ф. х – любое число

2) Проверим четность: у(-х) = 3(-х) – (- х)3 – 1 = - 3х + х3 – 1 не выполняется равенство у(-х) = - у(х) функция не является нечетной

не выполняется равенство у(-х) = у(х) функция не является четной

Функция не является периодичной.

3) Точка пересечения с осью ОУ (0; -1), так как у(0) = -1. Точек пересечения с осью ОХ

1) Найдем асимптоты графика функции: Точек разрыва функция не имеет, значит вертикальных асимптот нет. Предел функции на бесконечности lim f(x) = ∞

х→ ±∞

горизонтальных асимптот нет.

Проверим наличие наклонных асимптот для графика функции у = f(x)

k = lim f(x) = lim 3х – х3 – 1 = lim 3 – х2 – 1/х = 3 - ∞ - 0 = - ∞

х→ ±∞ х х→ ±∞ х х→ ±∞

наклонных асимптот нет

2) Найдем экстремумы функции, для этого найдем первую производную функции у' = (3х – х3 – 1)' = 3 – 3х2

Стационарные точки : 3 – 3х2 = 0

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru х2 = 1

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru х = ± 1 ________________________

По выполнению контрольных работ - student2.ru у(-1) = - 3; у(1) = 1 - 1 + 1

Функция убывает ( -∞; -1) и (1; +∞), возрастает ( -1; +1)

3) По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru Найдем промежутки выпуклости и вогнутости, для этого найдем вторую производную у'' = (3 – 3х2)' = - 6х точки перегиба у'' = 0 → х = 0 _______________________

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru У(0) = - 1 0

4) Строим график:

По выполнению контрольных работ - student2.ru у

 
  По выполнению контрольных работ - student2.ru

По выполнению контрольных работ - student2.ru -1 1 х

Задание4.

Найти неопределенный интеграл

А)ò (2х3+9х2+10)dx Б) ò (2x +1)24dx В) ò x sin2x dx

Решение:

А) Для нахождения интеграла используем прием непосредственного интегрирования, и формулу первообразной степенной функции

ò (2х3+9х2+10)dх=2·х3+1/(3+1)+9х2+1/(2+1)+10х=2·х4/4+9х3/3+10х=х4/2+3х3+10х+C

Б) Для нахождения интеграла используем прием замены переменной, и формулу первообразной степенной функции.

Заменим 2х+1 = t, тогда dt = d(2x+1) = 2 dx, тогда dx = ½ dt , подставляя в исходный интеграл имеем:

ò (2x +1)24dx = ò1/2 t24 dt = 1/2· t25/25 = (2x+1)25/50 + C

В) Для нахождения интеграла используем прием интегрирования по частям

ò u dv = uv - ò v du

ò x sin2x dx = [ x = u sin 2x dx = dv ] = -½x cos 2x - ò(-½cos2x) dx=

dx = du òsin 2xdx = ò dv

-½ cos 2x = v

= -½x cos 2x + ½ ½sin 2x = -½x cos 2x + ¼sin 2x + C

Задание 5. Вычислить определенный интеграл

3

∫(x2+2)dx

1

Решение:

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

b b

ò f(x) dx = F(x)ô = F(b) – F(a)

a a

3 3

∫(x2+22)dx = (x3/3 + 22x)ô= (33/3 + 22·3) – (13/3 + 22·1) = (9 + 66) – (0,3 + 22) =

1 1 = 75 – 22.3 = 52.7

Задание 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=х2+4, у=6 – х. Сделать рисунок.

Решение:

Найдем точки пересечения графиков, для этого решим уравнение

х2+4 = 6 – х

х2+ х – 2 = 0, откуда х1 = - 2; х2 = 1 – границы интеграла.

Линия у = 6 – х лежит выше графика функции у = х2+4, поэтому находим площадь фигуры как разность площадей криволинейных трапеций.

1 1 1

S = ò((6 – x) – (x2+4)) dx = ò(2 – x – x2) dx = (2x – x2/2 – x3/3)ô= (2·1 – 12/2 – 13/3) –

-2 -2 -2

- (2·(-2) – (-2)2/2 – (-2)3/3) = (2 - 0,5 – 0,3) – ( - 4 – 2 +2,7) = 1,2 – (-3,3) = 4,5

По выполнению контрольных работ - student2.ru Сделаем рисунок: у

 
  По выполнению контрольных работ - student2.ru

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru 6

       
  По выполнению контрольных работ - student2.ru
    По выполнению контрольных работ - student2.ru
 

По выполнению контрольных работ - student2.ru 4

Ответ: S = 4,5 кв.ед.

Задача 7. В коробке находится 11 белых и 6 красных кубиков. Какова вероятность того, что два подряд вынутых кубика красные?

Решение:

Определение: Вероятностью события А называется отношение числа mисходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу n всех исходов события А

Р = m/n

По формуле числа сочетаний из n = 17 по m = 2 элементов найдем общее число возможных пар кубиков из общего числа кубиков, находящихся в коробке

n = С217 = 17! = 17! = 16·17 = 272 : 2 = 136

2 ! (17-2)! 15! 2

Благоприятными будут исходы, в которых 2 кубика выпали из 6 красных. По формуле числа сочетаний из n = 6 по m = 2 элементов найдем число благоприятных пар кубиков

m= С26 = 6! = 6! = 5·6 = 30 : 2 = 15

2! (6-2)! 2! 4! 2

Таким образом вероятность того, что два подряд вынутых кубика красные равна Р = 15 : 136 = 0,11

Задача 8. Студент сдает экзамен. В билете три вопроса. Вероятность того, что студент знает ответ на первый вопрос, равна 0,7; на второй – 0,8; на третий – 0,6. Найти вероятность того, что студент ответит ровно на два вопроса из билета.

Решение:

Обозначим элементарные события буквами, запишем их вероятность

А: знает ответ на первый вопрос Р(А) = 0,7

В: знает ответ на второй вопрос Р(В) = 0,8

С: знает ответ на третий вопрос Р(С) = 0,6

Противоположные события и их вероятности будут:

__ __

А: не знает ответ на первый вопрос Р(А) = 1 - 0,7 = 0,3

_ _

В: не знает ответ на второй вопрос Р(В) = 1 - 0,8 = 0,2

_ _

С: не знает ответ на третий вопрос Р(С) = 1 - 0,6 = 0,4

Событие «студент ответит ровно на два вопроса» означает, что он ответит на первый и второй вопросы и не ответит на третий, или ответит на первый и третий, не ответит на второй, или не ответит на первый и ответит на второй и третий. Составляем формулу этого события, пользуясь теоремами сложения и умножения независимых событий.

_ _ _

D = ABC + ABC + ABC

P(D) = 0,7·0,8·0,4 + 0,7·0,2·0,6 + 0,3·0,8·0,6 = 0,224 + 0,084 + 0,144 = 0,452

Задача 9. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х
Р 0,3 0,3 Р3

Найти: а) р3 ; б) математическое ожидание величины; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение, д) функцию распределения; е) построить полигон распределения.

Решение:

а) Сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины равна 1.

Найдем р3:

р3 = 1 – (р1 + р2) = 1 – (0,3+0,3) = 1 – 0,6 = 0,4

б) Математическое ожидание находится по формуле: М(X) = ∑ xi pi

M(X) = 10·0,3 + 15·0,3 + 20·0,4 = 3 + 4,5 + 8 = 15,5

в) Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

D(X) = ∑ (xi – a)2 pi где а = М(Х)

D(X) = (10 – 15,5)2·0,3 + (15 – 15,5)2 ·0,3 + (20 – 15,5)2 ·0,3 = 30,25·0,3 + 0,25· 0,3 + 20,25·0,4 = 9,075 + 0,075 + 8,1 = 17,25

г) Среднее квадратическое отклонение находится по формуле: σ(Х) = ÖD(Х)

σ(Х) = Ö17,25 = 4,15

д) Определение: Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

F(x) = P (X < x)

  1. Если х < 10, то F(х) = 0
  2. Если 10 < х £ 15, то F(х) = 0,3
  3. Если 15 < х £ 20, то (х) = 0,3 + 0,3 = 0,6
  4. Если х > 20, то (х) = 1

Построим график функции распределения

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru 1

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru 0,3

0,3

По выполнению контрольных работ - student2.ru

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru 0 10 15 20 x

е) Построим полигон распределения.

Р

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru 0,4

По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru По выполнению контрольных работ - student2.ru 0,3

 
  По выполнению контрольных работ - student2.ru

0 10 15 20 x

Основная литература.

  1. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2009г.
  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2. – М.: ОНИКС 21 век «Мир и Образование», 2008 г.
  3. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.: Издательский центр «Академия», Мастерство, 2012 г.

Дополнительная литература.

  1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Роскнига, 2001 г.
  2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
  3. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. С-Пт.:Лань, 2001 г.
  4. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М.: Высшая школа, 1999 г.

Приложение 1.

Наши рекомендации