Частотные методы оценки качества регулирования
Качество переходных процессов в системах и объектах при гармонических воздействиях оценивают по частотным характеристикам, снятым экспериментально или рассчитанным по параметрам математической модели. В этом случае получают частотные критерии качества переходных процессов, которые относят к косвенным критериям.
Частотные критерии определяют по одной из частотных характеристик: амплитудно-фазовой, амплитудной, вещественной или логарифмической амплитудной.
Различные частотные характеристики замкнутой САУ связаны следующим соотношением:
. (15.5)
Для минимально-фазовых систем, у которых все полюсы и нули передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю действительные части, АЧХ и ФЧХ однозначно связаны, поэтому по АЧХ можно определить свойства САУ, в том числе и качество переходных процессов.
По АЧХ (рис. 15.9), в основном, оценивают колебательность и длительность переходной характеристики 
.
| wр |
| wсwпрwзпрwгрw |
| A3(w) |
| A3м |
 0,707 |
| А3(0) |
Рис. 15.9 - АЧХ замкнутой САУ
К о л е б а т е л ь н о с т ь определяется по величине относительного максимума АЧХ, называемого показателем колебательности 
, который является косвенным показателем колебательности САУ :
.
(15.6)
Например, для колебательной САУ 2-го порядка (кривая 1 на рис. 15.9 ):
, 
; 
.
В случае 
(кривая 2 на рис. 15.9) переходная характеристика системы неколебательна. При 
появляетсяколебательность и чем больше 
, тем она больше. При 
и колебательность возрастает до получения незатухающих колебаний с частотой 
, соответствующих границе устойчивости САУ (пара сопряженных мнимых полюсов 
).
Из соотношения 
следует, что в диапазоне частот, где
, а 
;
при 
, а 
.
При 
, 
, 
; максимум 
, а 
.
Обычно рекомендуется 
. При этом переходная характеристика имеет слабуюколебательность с частотой, близкой к частоте 
резонансного пика АЧХ с 
, 
- запас САУ по фазе на частоте среза 
. Допустимо в САУ и значение 
от 
до 
.
Д л и т е л ь н о с т ь 
переходной характеристики определяется шириной 
: чем шире АЧХ САУ, тем короче 
, т.е. меньше 
.
Длительность 
может быть оценена в первом приближении по значению , так как частота колебаний переходной характеристики примерно равна . Учитывая, что время 
близко к половине периода колебаний этой частоты, можно определить:
, а 
. (15.7)
Если 
САУ в течение 
имеет 1¸2 колебания, то 
; так как 
, то 
. Для оценки быстродействия САУ используются также частота среза , полоса пропускания САУ 
, эквивалентная полоса пропускания САУ 
.
Колебательность и длительность переходной характеристики замкнутой САУ в первом приближении могут быть оценены непосредственно по параметрам ЛАХ разомкнутой САУ: частоте среза и величинам запасов устойчивости по фазе и амплитуде. В случае колебательной переходной характеристики 
резонансная частота 
АЧХ замкнутой САУ близка к частоте среза ЛАХ разомкнутой САУ. Поэтому значения 
и 
могут быть определены аналогично при подстановке 
, например в случае неколебательной 
, 
.
Колебательность считается допустимой, если ЛАХ на частоте среза имеет наклон в минус 20 дБ, чем шире участок с таким наклоном, тем меньше колебательность. При ширине этого участка около одной декады и нахождении ближе к его концу перерегулирование в САУ не будет превышать 20-30 %. Если запас по фазе 
, запас по амплитуде минус 6 дБ, то 
имеет слабую колебательность.
В силу соотношения (15.5) колебательность и длительность переходного процесса могут быть определены по вещественной (действительной) частотной характеристике (ВЧХ) 
замкнутой САУ.
Детальные и более точные зависимости, связывающие показатели качества системы с частотными характеристиками, имеются в учебной и справочной литературе по ТАУ. Для познания сути вопроса важны следующие выводы.
1. Близкие по форме АЧХ и ВЧХ САУ имеют близкие по качеству переходные процессы.
2. Частота определяет быстродействие САУ, т.е. чем больше , тем меньше 
. Но при значительных 
вместе с полезным сигналом проходят и помехи, поэтому не следует стремиться делать чрезмерно большой.
3. Наличие пика в АЧХ ( 
) и ВЧХ говорит о колебательности САУ.
4. Если в АЧХ или ВЧХ САУ имеется разрыв на определенной частоте 
, то в САУ на этой частоте возникают незатухающие колебания (САУ находится на колебательной границе устойчивости).
5. Если АЧХ или ВЧХ имеет разрыв при 
, то в САУ имеет место апериодическая граница устойчивости.
6. Острый пик АЧХ или ВЧХ при 
говорит о сильной колебательности с частотой, близкой к 
и значительном 
.
7. С увеличением 
возрастают 
, 
, 
, и уменьшается 
; следовательно, увеличение 
ведет к ухудшению качества САУ.
8. Оценки качества переходных процессов в общем случае могут быть определены по соответствующим характеристикам разомкнутой САУ, благодаря связи АЧХ и ФЧХ замкнутой и разомкнутой САУ.
Изложенное выше относится к минимально-фазовым системам; однако в первом приближении рассмотренные оценки качества переходных процессов могут быть применены и к неминимально-фазовым системам. При этом погрешность тем больше, чем больше различаются ФЧХ САУ.
Особые частоты: ω+ – граница интервала частот положительности ВЧХ, ω0 – частота собственных колебаний, ωсущ – граница интервала существенных частот, вне которого текущее значение функции уже не превышает (0,05…0,1)P(0).
Общие принципы оценки качества по вещественной частотной характеристике P(ω):
- P(0) = h(∞) = kуст – конечное значение переходной характеристики численно равно начальному значению ВЧХ;
- P(∞) = h(0) – начальное значение переходной характеристики численно равно конечному значению ВЧХ;
- a·P(ω) ÷ a·h(t) – кратность изменения масштаба ВЧХ и переходной характеристики одинакова;
- P(a·ω) ÷ h(t/a) – расширение полосы рабочих частот ведет к соразмерному повышению быстродействия системы;
- время регулирования π/ω+<tрег<4π/ω+,
- перерегулирование σ определяется по форме ВЧХ:
а) если ВЧХ монотонно убывает, то перерегулирование σ = 0;
б) если ВЧХявляется положительной невозрастающей функцией, то перерегулирование σ < 18 %;
в) если ВЧХ имеет подъем от P(0), то 
;
г) если ВЧХ имеет отрицательный минимум со значением более 0,1P(0), то с его учетом 
;
д) если ВЧХ терпит разрыв при ω=ω0, система совершает незатухающие колебания, tрег→ ∞ и показатели качества не определяются.
При оценке качества регулирования по АЧХ обычно вычисляют значение частотного показателя колебательности, равное отношению максимума характеристики к ее начальному значению М = Ам/А(0). При М = 1 переходная характеристика системы не колебательна, при М → ∞ система находится на границе устойчивости, наблюдаются незатухающие колебания с частотой ω0. Оптимальными считаются значения М = 1,1..1,5, которым соответствует перерегулирование 10-30 % и запас по фазе 30-50°.
Пример 1. Оценить значение частотного показателя колебательности системы по её АЧХ (рисунок 15.8).
Рисунок 15.8
Максимальное значение АЧХ равно 1,51, следовательно, показатель колебательностиМ = 1,51/1,0 = 1,51, что ещё удовлетворяет минимальному запасу по фазе 30° и перерегулированию 30 %.
Пример 2. Найти значение перерегулирования и времени регулирования системы по заданной АФЧХ (рисунок 15.9)
Рисунок 15.9
Частота ω+ = 1,45 рад/с, положительный максимум ВЧХ равен 1,09 при начальном значении Р(0) = 1,0, отрицательный минимум 0,521. Отсюда получаем перерегулирование
=
= (1,18*1,09 + 0,277*0,521 – 1,0)*100 = 43,1 %
и время регулирования не более 4π/ω+ = 4*3,1415926/1,45 = 8,67 с.
Указания по выполнению работы
С помощью частотного метода определить показатели качества переходных процессов для линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой при K = 10; Т = 0,2с.
Решение
Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.