Прямые оценки качества регулирования

Прямые оценки качества определяются по переходной характе­ристике, т.е. реакции системы на единичный скачок при нулевых начальных условиях (рисунок 15.2).

Время регулирования tрег измеряется от начала переходного процесса до момента, после которого характеристика не отклоняется от установившегося значения более, чем на величину допустимой ошибки ∆ (обычно 5 %, реже 2 % от установившегося значения). Следует указывать, при какой зоне Δ получено время регулирования.

Перерегулирование σ – величина максимального относительного заброса переходной характеристики от начальной величины за линию установившегося значения (в относительных единицах или %)

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru или Прямые оценки качества регулирования - student2.ru .

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru

а) – выходная величина y(t) б) – ошибка регулирования ε(t)

или h(t) или отклонение δ(t)

Рисунок 15.2

Если начальное и конечное значения характеристики равны нулю или одинаковы (и приняты условно за 0), возможны два способа оценки. При наличии разнополярных значений перерегулирование равно отношению величины второго экстремума к величине первого (рисунок 15.3, а), а если колебание одно (рисунок 15.3, б), то перерегулирование равно отношению величины максимального отклонения к величине входного воздействия (обычно это единица). Зону Δ для оценки времени регулирования в первом случае определяют от значения первого максимума, во втором случае – от величины входного воздействия.

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru Прямые оценки качества регулирования - student2.ru

а б

Рисунок 15.3

Время нарастания tн определяется: для процессов с перерегулированием как время от начала процесса до момента пересечения кривой линии установившегося значения; для любых процессов как время между моментами достижения заданных уровней установившегося значения (например, 10 и 90 %). Поэтому при оценке времени нарастания следует указывать, каким способом оно получено.

Время достижения первого максимума tmax (подразумевается, что первый максимум кривой является и наибольшим из всех).

Коэффициент колебательностиN – число забросов переходной характеристики через линию установившегося значения за время ре­гулирования, рекомендуется не более одного-двух забросов.

Степень затухания (демпфирования) – величина относительного уменьшения ψ = (hmax1 - hmax3)/(hmax1 –h(∞))амплитуды максимальных забросов выходной величины за один период Тк, удовлетворительной считают систему с ψ = 0,75...0,95.

Установившаяся ошибка ε(∞) равна разнице между предписанным и действительным значениями выходной величины после окончания переходного процесса.

Пример 1. Оценить время регулирования и перерегулирование для системы с передаточной функцией k/(s + 2).

Поскольку полюс α = -2 действительный, без мнимой части, колебаний не будет и перерегулирование σ = 0. Переходный процесс описывается зависимостью k(1 - eαt) и заканчивается при достижении величины 0,95k, т.е. когда выполняется условие eαt = Δ = 0,05. Отсюда tрег =ln(Δ)/α = ln(0,05)/(-2) = 1,498 с.

Пример 2. Определить величину перерегулирования и времени регулирования (рисунок 15.4

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru

Рисунок 15.4

Перерегулирование σ = (1,5 – 1,0)/1,0 = 0,5 или 50 %. Для определения времени регулирования проводим параллельно линии установившегося значения две прямые на уровне hуст ±Δ = 1±0,05×1 = 1±0,05. По точке последнего вхождения кривой в зону 2Δ получаем tрег = 15 с.

15.2 Корневые критерии качества переходных процессов

Эта группа критериев основана на оценке качества переходных процессов по значениям полюсов и нулей передаточной функции системы между интересующими нас входами и выходами системы.

Как известна, переходная характеристика системы может быть определена следующим образом –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru (15.1)

где Прямые оценки качества регулирования - student2.ru – корни характеристического уравнения системы

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru .

Очевидно, что на характер переходного процесса оказывает влияние и числитель Прямые оценки качества регулирования - student2.ru и знаменатель Прямые оценки качества регулирования - student2.ru передаточной функции. Но, в большинстве случаев, при анализе систем по реакции на управляющее воздействие, Прямые оценки качества регулирования - student2.ru не имеет корней, то есть передаточная функция не имеет нулей. Тогда характер переходного процесса можно оценить только по полюсам передаточной функции, подвергая тем самым анализу корни характеристического уравнения системы –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru (15.2)

В случае приближенной оценки качества по корням характеристического уравнения на комплексной плоскости выделяют область расположения корней, границы которой задаются по требованиям к качеству процессов, как это показано на рис. 15.5.

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru

Рис. 15.5

Границы области, показанной на рис. 15.5, задаются следующими параметрами:

· Прямые оценки качества регулирования - student2.ru – критерий длительности переходного процесса,

· Прямые оценки качества регулирования - student2.ru – колебательность переходного процесса, определяется по Прямые оценки качества регулирования - student2.ru ,

· Прямые оценки качества регулирования - student2.ru – максимальное удаление корня от мнимой оси.

Рассмотрим эти параметры.

Критерий длительности Прямые оценки качества регулирования - student2.ru определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего действительного корня или ближайшей пары комплексно сопряженных корней.

Выясним, действительно ли этот параметр характеризует длительность переходного процесса? Возможны два случая расположения корней на границе области.

1. Пусть ближайшим к мнимой оси, то есть лежащий на границе области, будет действительный корень –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru ,

тогда соответствующая ему компонента переходного процесса, в соответствии с (15.1) будет иметь вид –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru (15.3)
   

где Прямые оценки качества регулирования - student2.ru - коэффициент разложения (15.1).

2. Если ближайшей к мнимой оси будет комплексно-сопряженная пара корней –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru ,

тогда соответствующая им компонента переходного процесса, в соответствии с (15.1) будет иметь вид –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru (15.4)

где Прямые оценки качества регулирования - student2.ru - частота колебаний.

Из (15.2) и (15.4) мы видим, что время затухание компоненты Прямые оценки качества регулирования - student2.ru определяет сомножитель –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru ,

где Прямые оценки качества регулирования - student2.ru – величина минимального действительного корня или минимальной действительной части корней, Прямые оценки качества регулирования - student2.ru – соответствующая Прямые оценки качества регулирования - student2.ru , наибольшая постоянная времени. Таким образом, можно считать, что переходный процесс системы завершится не раньше, чем затухнет компонента Прямые оценки качества регулирования - student2.ru . Следовательно, Прямые оценки качества регулирования - student2.ru определяет длительность переходного процесса, будучи величиной, обратно пропорциональной времени регулирования. Зная Прямые оценки качества регулирования - student2.ru , мы можем оценить время регулирования или переходного процесса по следующему соотношению –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru ,

где Прямые оценки качества регулирования - student2.ru – половина ширины области, при попадании в которую переходной процесс считается завершенным. Если Прямые оценки качества регулирования - student2.ru , а крайний корень действительный, то имеем –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru .

Критерий колебательности Прямые оценки качества регулирования - student2.ru определяется по углу Прямые оценки качества регулирования - student2.ru следующим образом –

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru .

где Прямые оценки качества регулирования - student2.ru – соответственно действительная и мнимая части комплексно сопряженной пары корней расположенных на границе области (см. рис. 15.5). При увеличении Прямые оценки качества регулирования - student2.ru возрастает колебательность системы.

Дальнюю от мнимой оси границу области Прямые оценки качества регулирования - student2.ru , определяют корни, оказывающие предельно малое влияние на переходный процесс.

При прочих равных условиях от системы требую увеличения Прямые оценки качества регулирования - student2.ru и снижения Прямые оценки качества регулирования - student2.ru .

В качестве примера влияния расположения корней на характер переходных процессов покажем графики, представленные на рис. 15.6 и 15.7.

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru

Рис. 15.6

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru

Рис. 15.7

Если передаточная функция системы имеет нули, то оценка качества системы только по полюсам может дать существенную погрешность.

Доминирующими называются левые полюса системы, ближайшие к мнимой оси. Степень устойчивости αmin (или η) равна модулю их действительной части (рисунок 15.8). Для оценки времени регулирования tрегнаходят сначала степень устойчивости системы, откуда при ошибке ∆=5 % tрег ≈ 3/|αmin|. При заданной зоне ошибки 2 % вместо коэффициента 3 берут приблизительно 4.

Прямые оценки качества регулирования - student2.ru

Рисунок 15.8

Найдя степень колебательности системы Прямые оценки качества регулирования - student2.ru , определяют значение перерегулирования Прямые оценки качества регулирования - student2.ru . Для расчета μ выбирают комплексный корень (полюс), у которого отношение мнимой части к действительной максимально. При единственной паре комплексных корней необходимость выбора отпадает. При нескольких парах комплексных корней максимальное значение μ у того корня, который первым встречается лучу, проведенному из начала координат по положительной мнимой полуоси и поворачиваемому против часовой стрелки.

Показатели качества определяют только для устойчивых систем. Если система имеет нуль, равный полюсу, то они взаимно компенсируются и данная составляющая не учитывается (выпадает из переходного процесса).

Пример 1. Оценить показатели качества регулирования системы, имеющей нуль -0,125, полюса -1,5 ± 6j; -0,125 и коэффициент передачи 1,2.

Коэффициент передачи на относительные показатели не влияет. Нуль -0,125, равный полюсу, взаимно с ним компенсируется. Следовательно, доминирующими являются комплексно-сопряженные полюса -1,5 ± 6j, откуда tрег ≈ 3/|αmin| = 3/1,5 = 2 с, степень колебательности системы Прямые оценки качества регулирования - student2.ru = 6/1,5 = 4 и перерегулирование Прямые оценки качества регулирования - student2.ru = 0,456 или 45,6 %.

Пример 2. Оценить перерегулирование и время регулирования системы Прямые оценки качества регулирования - student2.ru с законом управления u = 2(r – y).

Подставляя значение u в соответствии с законом регулирования, получим дифференциальное уравнение Прямые оценки качества регулирования - student2.ru . Нули отсутствуют, из характеристического уравнения Прямые оценки качества регулирования - student2.ru находим полюса -0,6 ± j0,6. Отсюда tрег ≈ 3/|αmin| = 3/0,6 = 5 c, а перерегулирование Прямые оценки качества регулирования - student2.ru 0,043 или 4,3 %.

Наши рекомендации