Формула интегрирования по частям
Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x∈(a;b) выполняется равенство F′(x) = f(x).
Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.
Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) – первообразная для f(x), так как .
Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.
Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).
Доказательство: (F + C)′ = F′ + C′ = f + 0 = f
По определению F+C – первообразная для f.
Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.
Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g′(x) = 0.
Доказательство: Так как g(x) = C, справедливы равенства: g′(x) = C′ = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).
Если g′(x) = 0 при всех x∈(a;b), то g(x) = C на (a;b).
Доказательство: Пусть g′(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1∈(a;b). Тогда для любой точки x∈(a;b) по формуле Лагранжа имеем g(x) – g(x1) = g′(ξ)(x – x1). Так как ξ∈(x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g′(ξ) = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.
Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C –число.
Доказательство: Возьмем производную от разности G – F: (G – F)′ = G′ – F′ = f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C – число, то есть G = F + C.
Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b)называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то ∫f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.
Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F′(x) = f(x) соответствует формула ∫f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:
Таблица 5.1.Неопределенные интегралы
| 1) ∫ dx = x + C | 7) ∫ cosx dx = sinx + C |
| 2) ∫ xαdx=(α≠1) | 8) |
| 3) | 9) |
| 4) ∫ exdx =ex+C | 10) |
| 5) ∫ axdx =axlogae+C (α≠1) | 11) |
| 6) ∫ sinx dx=-cosx + C | 12) |
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
Таблица 5.2.
| 1) ( ∫f(x) dx )′=f(x); | 4) ∫d f(x)=f(x)+C ; |
| 2) ∫f′ (x) dx= f(x)+C ; | 5) ∫kf(x)dx=k∫f(x) dx; |
| 3) d ∫f(x) dx= f(x)dx; | 6) ∫(f(x)+g(x))dx=∫ f(x) dx+∫g(x) dx ; |
| 7. Если ∫f(x) dx = F(x) + C, то ∫f(ax+b) dx = (a ≠ 0). |
Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Если функция f(x) непрерывна, а функция φ(t) имеет непрерывную производную φ′(t), то имеет место формула ∫ f(φ(t))φ′(t) dt = ∫ f(x) dx, где x = φ(t).
Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.
Примеры. 1. I = ∫ cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.
.
. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.
. Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и
.
. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и
.
Формула интегрирования по частям
Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv)′ = u′v + v′u
Отсюда следует ∫ (uv)′dx = ∫ (u′v + v′u )dx = ∫ u′v dx + ∫ v′u dx
Или ∫ uv′ dx = uv – ∫ u′v dx .
Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: ∫ u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ∫ v(x)du(x)
Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.
Примеры. 1. I = ∫ x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается: I = x sinx – ∫ sinx dx = x sinx + cosx + C. I = ∫ (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv.
Тогда du = (2x – 3) dx; . .
К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; , и окончательно получаем:
;
В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:
.
Представим дробь в виде суммы двух дробей: и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства получим систему уравнений
с решением . Отсюда следует: .
Полученный интеграл в обиходе обычно называют «высоким логарифмом». Метод, которым он был найден, называется методом «неопределенных коэффициентов». Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.