Тема 9.6.: Осевые сечения цилиндра, конуса, усеченного конуса

План занятия.

Осевые сечения цилиндра.

Осевые сечения конуса.

Осевые сечения усеченного конуса.

Sб.цил.=2πRH

Sпол.цил.= 2πRH+2πR²=2πR(H+R)

Sбок.конуса=

Sполн.конуса=πRℓ+πR²=πR(ℓ+R)

Решить в аудитории

Задача №1. Высота цилиндра на 10см больше радиуса основания, а Sполн.=144πсм². Определить R и H. Ответ 4см и 14см.

Задача №2. Определить высоту усеченного конуса, если его Sполн.=572πм², а радиусы оснований 6м и 14м. Ответ 15м.

Домашнее задание

1. Выучить содержание конспекта.

2. Решить задачи.

Задача №1. Полуцилиндрический свод подвала имеет 5м длины и 5,8м ширины в диаметре. Определить Sполн. подвала. Ответ ≈101м².

Задача №2. Поверхность конического шпица башни равна 250м², диаметр основания 9м. Определить высоту шпица. Ответ 12,4м.

Задача №3. Конусообразная палатка высоты в 3,5м и Д=4м покрыта парусом. Сколько м² пошло на палатку. Ответ ≈ 25,3м².

Тема 9.7.: Шар, сфера. Поверхность сферы.

План занятия.

1.Определение шара и сферы.

2.Касательная плоскость к сфере.

3.Площадь сферы.

Определение: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы (точка О), а данное расстояние- радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы, и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Касательная плоскость к сфере.

Рассмотрим более подробно случай, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка- точка касания плоскости и сферы.

Теорема: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство: Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центорм О в точке А. Докажем, что ОА α.

Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α и следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость α- касательная, т.е. сфера и плоскость α имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОА α. Теорема доказана.

Обратная теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Площадь сферы.

В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть нана плоскость, и следовательно, для нее не пригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет п граней. Будем неограниченно увеличивать п таким, образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанных многогранников стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.

Решить задачи

Задача №1. Город N находится на 60⁰ северной широты. Какой путь описывает этот пункт в течение одного часа вследствие вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли ≈ 6000км. Ответ≈785км.

Задача №2. В шаре проведены по одну сторону центра два параллельных сечения. Их площади 49πдм²и 4πм², расстояние между ними 9дм. Определить поверхность шара. Ответ 25πм².

Домашнее задание

1) Выучить конспект.

2) Решить задачи:

а) Шар радиус которого 41дм пересечен плоскостью на расстоянии 9дм от центра. Определить Sсечения. Ответ 16π≈50м².

б) Площадь большого круга равна 1м². Найти S шара. Ответ 4м².

в) Радиус шара 20см. через конец радиуса под углом 60⁰ к нему проведена плоскость. Определить S сечения. Ответ 100π м².