Требования к выполнению курсовой работы

Синтез оптимального управления организационно-техническими системами

Учебное пособие для выполнения курсовой работы

Москва, 2008 г.

содержание

Введение.. 3

1. Содержание и Методическое Обеспечение курсовой работы 5

1.1 Постановка задачи. 5

Формулировка оптимизационной задачи. 7

1.2. Методика решения задачи синтеза оптимальной позиционной стратегии управления. 8

Численная реализация матрицы обратной связи оптимальной позиционной стратегии управления. 11

2. требования к выполнению курсовой работы... 13

Часть I 15

Часть II 15

3. Варианты Заданий к курсовой работе.. 17

I-я группа заданий (задания: №1, №7, №13) 17

Постановка задачи. 17

Формализация задачи. 18

Формулировка математической задачи. 18

Определение исходных данных: 19

II-я группа заданий (задания: №2, №8, №12, №16) 19

Формализация задачи. 20

Формулировка задачи синтеза оптимального управления. 23

Определение исходных данных: 24

III-я группа заданий (задания: №3, №6, №11, №14) 24

Формализация задачи. 25

Формулировка задачи синтеза оптимального управления. 26

Определение исходных данных: 26

IV-я группа заданий (задания: №4, №5, №9, №10, №15) 28

Формализация задачи. 28

Линеаризация задачи. 29

Формулировка задачи синтеза оптимального управления. 30

Определение исходных данных: 31

4. рекомендации по формированию заключения и Приложений к курсовой работе.. 34

Введение

Учебное пособие предназначено для студентов, выполняющих курсовую работу по дисциплине: «Синтез оптимального управления организационно-техническими системами», читаемой в рамках специальности 0722: «Моделирование и исследование операций в организационно–технических системах».

Целями курсовой работы являются:

- развитие и закрепление навыков постановки задачи на техническом языке (в инженерных терминах по специальности);

- развитие и закрепление навыков математической формализации всех физических составляющих задачи, формулировки её на математическом языке в терминах теории синтеза оптимального управления динамическими системами;

- овладение аналитическими и численными методами синтеза оптимального управления в приложении к задачам оптимизации позиционных стратегий управления организационно-техническими системами (ОТС) по различным критериям и для разных динамических систем;

- приобретение навыков аналитического решения задач синтеза оптимальных позиционных стратегий управления линейными детерминированными динамическими системами на основе применения: достаточных условий оптимальности управления типа Уравнения Беллмана и численных методов интегрирования уравнений Риккати;

- умение разрабатывать методику и конкретизировать алгоритм решения поставленной задачи, формировать и создавать соответствующее программное обеспечение;

- накопление опыта объектно-ориентированного программирования;

- формулирование выводов по результатам проделанной работы.

В пособии имеется подробное описания содержания курсовой работы, сформулированы требования к ней, представлены варианты заданий, приведены теоретические сведения, необходимые для выполнения работы.

Содержание и Методическое Обеспечение курсовой работы

Курсовая работа в значительной мере опирается на аналитическое решение задачи синтеза оптимальной позиционной стратегии управления линейной детерминированной динамической системой (ДС). Это связано с высокой трудоёмкостью решения подобных задач для более сложных ДС в рамках одной курсовой работы. Тем не менее, на примерах решения ряда технических задач (по космической тематике), моделирующихся с помощью линейных детерминированных динамических систем, удается продемонстрировать и отработать минимальный методический набор синтеза оптимальной позиционной стратегии управления.

1.1 Постановка задачи

Рассматривается управляемое движение ЛА, на которое оказывают воздействие различные по своей природе силы и моменты [3, 4, 6, 7, 15, 17]. Величина этих сил и моментов весьма существенно отличается (от нескольких процентов до нескольких порядков). В связи с этим они условно разделены на две группы [11, 14, 15, 16]:

· основные силы и моменты,

· возмущающие силы и моменты.

Предполагается, что под действием первой (основной) группы сил и моментов реализуется основное (номинальное, опорное) движение изучаемого объекта, например, КА; а под действием второй (возмущающей) группы сил осуществляется относительное (по отношению к опорному движению) движение КА, которое часто называют «возмущенным движением».

Имея это в виду, траектория движения объекта может быть представлена как суперпозиция двух движений (см. рис. 1):

· Опорное (номинальное) движение под действием основных (определяющих) сил;

· «Возмущенное» движение под действием возмущающих сил («возмущений»).

Рис. 1

Если считать, что - фазовый вектор, характеризующий полное движение объекта, а и - его опорное (номинальное) и относительное («возмущенное») движение, соответственно. Тогда формально суперпозиция этих двух движений представляется следующим образом.

(1.1)

Если далее предположить, что – мало по отношению к , Тогда целесообразно провести линеаризацию в окрестности опорной траектории. В результате получим линеаризованные дифференциальные уравнения, моделирующие только возмущенное движение:

(1.2),

В данном случае вектор обозначает вектор возмущенного движения – , т.е. .

где матрицы , и , – Якобианы (матрицы частных производных, соответственно, по и по правых частей нелинейных дифференциальных уравнений , полученные в окрестности опорной траектории)

В простейшем случае считается, что эти матрицы состоят из констант (имеют постоянные по времени коэффициенты).

Начало движения ДС (1) определяется точкой (начальным отклонением):

, (1.3)

а заканчивается в фиксированный момент времени:

(1.4)

Формулировка оптимизационной задачи

Определить оптимальную позиционную стратегию управления (закон управления), которая при условии (2) – (3) обеспечит минимум интегро- терминальному (смешенному) критерию:

(1.5).

Как видно из (1.5) критерий имеет квадратичный вид (для таких критериев отсутствуют «изломы» модулей).

Здесь и – положительно определенные матрицы, задающие с помощью коэффициентов (элементов матриц)значимости управления и состояние системы в конце движения ( задает интегральную значимость управления – (для любого момента времени из интервала ), а задает значимость ).

В итоге фиксация этих коэффициентов определяет оптимальность управления с точки зрения желаемой формы траектории и «затрат» управления на ее реализацию.

1.2. Методика решения задачи синтеза оптимальной позиционной стратегии управления

Для непрерывной детерминированной ДС общего вида и комбинированного функционала (интегротерминального или смешенного):

(1.6)

Достаточное условие оптимальности позиционной стратегии управления в форме уравнения Беллмана принимает вид [8, 9, 11, 14]:

(1.7).

Граничное условиями для него являются:

. (1.8)

В рассматриваемом частном случае для линейной ДС и квадратичного критерия условия (1.7) имеют вид

(1.8)

При конечных условиях:

(1.9)

Согласно известным необходимым условиям минимума функции по неограниченному аргументу производная этой функции по аргументу в точке минимума должна быть равна нулю. После взятия производной от выражения в фигурных скобках (1.8) и несложных преобразований, получим структуру оптимального управления:

. (1.10)

С учетом (1.10) уравнение Беллмана (1.8) примет вид:

(1.11)

Гипотеза

Предположим, что функция будущих потерь (ФБП) для квадратичного критерия (1.5) будет иметь также квадратичный вид:

, (1.12)

где матрица в общем случае является функцией времени

(1.13)

и имеет размерность .

С учетом предположения (1.12) уравнение (1.11) примет вид:

(1.14).

Отсюда следует, что матрица должна удовлетворять матричному дифференциальному уравнению Риккати [8, 9, 11, 14]:

(1.15).

При этом согласно (1.9) оно дополняется конечнымиусловиями:

(1.16)

Таким образом, с учетом предположения для ФБП (1.12) закон управления (позиционная стратегия) примет следующий вид:

, (1.17)

где – матрица обратной связи для оптимального закона (позиционной стратегии) управления:

. (1.18)

Из полученных выражений видно, что ключевым звеном в процедуре синтеза является определение матрицы .

Численная реализация матрицы обратной связи оптимальной позиционной стратегии управления

Согласно (1.16) матрица определяется терминальной частью квадратичного критерия – матрицей l в момент времени t_k :

При этом каждая составляющая вектора l задаёт значимость («вес») соответствующей составляющей вектора состояния системы в момент t_k. Поскольку поставлена задача минимизации критерия (1.6), то чем больше «вес» составляющей вектора состояния в конце движения, тем относительно более низкого её значения требует решаемая задача.

Зависимость матрицы от времени предлагается установить путем численного интегрирования (например, методом Рунге-Кутта 4-го порядка) матричного уравнения Риккати (1.15) в «обратном» времени.

Конечной целью курсовой работы является определение такого сочетания составляющих вектора l , которое по мнению исполнителя работы будет удовлетворительным с точки зрения математической и технической постановки задачи. Другими словами, необходимо провести исследование влияния значений составляющих вектора коэффициентов l , которые в данном случае становятся варьируемыми параметрами, на величину конечных отклонений составляющих вектора , имеющих вполне конкретный технический смысл.

Результаты исследования должны сопровождаться графиками зависимостей от параметров l₁, l₂,…, l_n и соответствующими техническими комментариями.

Замечание

Для ускорения и автоматизации процесса построения указанных зависимостей рекомендуется применить процедуры планируемого перебора и методы параметрической оптимизации (математического программирования).

требования к выполнению курсовой работы

Каждый студент получает индивидуальный вариант задания, в который включаются:

1. Описание физической и технической задачи курсовой работы.

2. Обобщенная математическая формализация задачи.

3. Формулировка оптимизационной задачи синтеза позиционной стратегии управления.

4. План проведения индивидуальных параметрических исследований в рамках конкретного задания для каждого варианта курсовой работы.

Процесс проведения курсовой работы строго регламентирован и должен выполняться согласно плану, представленному в табл 1.1.

Таблица 1.1

№ п/п	Содержание	продолжитель-ность	основная литература
	Изучение и постановка конкретной задачи согласно выданному варианта курсовой работы, оформление соответствующего раздела в отчет по КР	1 неделя	конспект лекций
	изучение методики решения задачи, оформление соответствующего раздела в отчет по КР	0,5 недели	[1, 2], конспект лекций
	решение задачи в черновом виде	1,5 недели	конспект семинарских занятий

Продолжение Таблицы 1.1

	проведение исследований по коэффициентам значимости в критерии оптимальности, построение графиков зависимости фазового состояния ДС и управления от времени	1 неделя	конспект семинарских занятий
	оформление части I отчета по КР	0,5 недели
	изучение теории и разработка методик численного решения задачи (согласно заданию), оформление раздела в отчет по КР	0,5 недели	[1, 2, 3, 7, 8, 9], конспект лекций и семинарских занятий
	формирование алгоритмов (блок-схем), программирование и отладка программного обеспечения	2 недели	[1, 2, 7, 8, 9], конспект лекций и семинарских занятий
	построение графиков зависимости фазового состояния ДС и управления от времени для численного решения задачи и проведение сравнения с аналитическим решением	0,5 недели
	оформление части II отчета по КР	0,5 недели
	Анализ результатов и формулировка выводов по КР	0,5 недели

Как видно из плана проведения КР ее реализация рассчитана на ~ 8,5 недель, что составляет по продолжительности около 53 % семестра.

Отчет по КР должен быть оформлен согласно действующему ГОСТу на оформление научно-технических отчетов и удовлетворять следующим требованиям.

· Отчет по КР должен иметь титульный лист, на котором должны быть указаны: дисциплина, в рамках которой выполняется КР, учебное заведение, факультет и кафедра, где выполнялась КР, автор и руководители КР, а также год выполнения КР;

· Вслед за титульным листом Отчет по КР должен иметь лист - «Задание на КР», на котором компактно излагаются индивидуальные технические задачи; задаются соответствующие динамические системы, моделирующие движение КА, а также критерии оптимальности управления этими системами. (Задаются преподавателем, контролирующим выполнение КР);

· Затем за листом «Задание на КР» должно следовать Содержание отчета по КР;

Часть I

Отчет по КР должен иметь:

· раздел, посвященный общей и частной постановке задачи с привлечением принятой в данной дисциплине терминологии и математических обозначений;

· должен иметь раздел, посвященный методике и алгоритму аналитического решения поставленной задачи (формализм применения достаточных условий оптимальности управления типа уравнения Беллмана);

· должен иметь раздел, в котором описано (детально) конкретное решение поставленной задачи, оформленное согласно общему алгоритму решения подобных задач.

Часть II

Отчет по КР должен иметь:

· раздел, посвященный описанию методик и алгоритма (блок-схемы) исследования влияния коэффициентов значимости матрицы λ в критерии (1.6) на величину конечных отклонений составляющих вектора , имеющих конкретный технический смысл;

· раздел, посвященный описанию результатов численных исследований в виде соответствующих таблиц и графиков, графических изображений управлений и соответствующих траекторий движения для рекомендуемых сочетаний коэффициентов значимости матрицы λ (все полученные результаты должны сопровождаться содержательными комментариями по существу решаемой технической задачи).

· В заключении КР должны быть сформулированы выводы по проделанной исследовательской работе, в которых должны даваться рекомендации по синтезированному оптимальному управлению для соответствующего конкретного критерия (1.6).

· В Приложении к КР должны быть помещены: распечатки модулей программного обеспечения, соответствующие блок-схемам численных алгоритмов решения и анализа задачи оптимизации программного управления заданной динамической системой.

Варианты Заданий к курсовой работе

Варианты заданий к курсовой работе разделены по четырём техническим направлениям, в которых применяется тория синтеза оптимальных позиционных стратегий управления. В свою очередь, каждое направление включает в себя несколько вариантов индивидуальных заданий, имеющих собственные особенности и требующие проведения оригинальных исследований.

I-я группа заданий (задания: №1, №7, №13)

В первой группе заданий рассматриваются задачи управления угловым движением ЛА, предполагающего наличие точной информации о положении связанной системы координат ЛА относительно заданной инерциальной системы отсчета (например, относительно земной топоцентрической системы координат). Для упрощения задачи (носящего непринципиальный характер, с точки зрения выполняемой КР) моделирование движения ЛА осуществляется только в продольном канале (относительно связанной оси 0Z).

Постановка задачи

Угловое движение ЛА относительно связанной оси 0Z с достаточной точностью описывается системой дифференциальных уравнений вида:

(3.1)

где: - угол тангажа; - угол наклона траектории; - угол атаки; - угол отклонения руля высоты; - угловая скорость вращения вокруг оси 0Z; - момент инерции; , , - частные производные момента относительно оси 0Z по соответствующим переменным.

В начале движения ЛА имеет некоторое нежелательное отклонение от номинального угла тангажа, которое необходимо минимизировать до приемлемого значения за некоторое допустимое время – T (время окончания переориентации). Кроме того, угловая скорость вокруг оси 0Z должна быть максимально приближена к нулю:

,

В качестве управления рассматривается угол отклонения руля высоты ЛА, на который накладывается ограничение:

Формализация задачи

Предполагая, что (нет демпфирования) и (опорная траектория не меняется), а оптимальное управление u = не нарушает указанного ограничения, исходная система (3.1) преобразуется к виду:

(3.2)

Если далее ввести обозначение угла атаки и его скорости изменения через вектор , тогда уравнение (3.2) можно их свести к двум уравнениям, записанным в форме Коши:

(3.3)

где ;

Формулировка математической задачи

Определить (синтезировать) оптимальную позиционную стратегию управления u(x) системой (3), минимизирующую квадратичный критерий оптимальности:

(3.4)

Где W , l - матрицы весовых коэффициентов (коэффициентов значимости), подлежащих определению, наряду со временем окончания переориентации - Т

Определение исходных данных:

Вариант №1

(3.5)

Вариант №7

(3.6)

Вариант №13

(3.7)

Вариант №17

(3.7’)

II-я группа заданий
(задания: №2, №8, №12, №16)

Во второй группе заданий рассматриваются задачи управления движением центра масс стационарного ИСЗ (СИСЗ) посредством малой тяги корректирующей двигательной установки (КДУ). Целью управления является перевод СИСЗ вдоль круговой орбиты (r₀= 42164888, V₀ =3074,7 м/с, Т₀ = 86164с, ω₀ = 0.72921 рад/с) из одной точки «висения» в другую при минимальных затратах топлива.

Формализация задачи

Уравнения движения, моделирующие движение СИСЗ, заданы в полярной системе координат:

(3.8)

где - радиус-вектор, - угловая полярная координата, - радиальная и трансверсальная составляющие скорости, - гравитационная составляющая Земли, - управляющие ускорения, создаваемые корректирующей ДУ, в радиальном и трансверсальном направлениях, соответственно.

Перейдем в уравнениях (1) к безразмерным величинам:

(3.9)

где безразмерные переменные отмечены символом (*), r₀ – радиус стационарной орбиты СИСЗ, u^* - относительное ускорение, измеряемое в долях ускорения свободного падения на высоте стационарной орбиты СИСЗ.

С учетом введения безразмерных величин (3.9) и опуская символ (*), получим:

(3.10)

Полагая, что в процессе перевода СИСЗ из одной точки «висения» в другую, отклонения , , , фазовых координат от соответствующих значений на круговой стационарной орбите радиуса r₀ достаточно малы, линеаризуем уравнения (3.10) в окрестности круговой орбиты единичного радиуса (в безразмерных координатах) и получим модель движения в отклонениях:

(3.11)

В матричном виде уравнения (3.11) будут следующими.

, (3.12)

Где

(3.13)

Начальное состояние СИСЗ, заданное в отклонениях, по условию задачи – нулевой вектор, за исключением углового «расстояния» по орбите , на которое необходимо перевести СИСЗ, т.е.

. (3.14)

Терминальное (конечное) состояние СИСЗ, заданное в отклонениях, определяется нулевым вектором:

, (3.15)

где - время завершения процесса перевода (подлежит определению).

В качестве вектора управления рассматривается управляющие ускорения СИСЗ, создаваемые КДУ. Считается, что величина тяги двигателей КДУ ограничена:

или (3.16)

где u_m – максимальное относительное ускорение, создаваемое двигателем, измеряемое в долях ускорения свободного падения (определяет расход рабочего тела).

Если предположить, что ограничение на управление и фиксация терминальных условий могут быть с небольшими погрешностями заменены косвенными ограничениями вида:

(3.17)

где
- матрица коэффициентов значимости составляющих вектора фазового состояния в конечный момент времени;

- матрица коэффициентов значимости составляющих вектора управления в процессе движения системы.

С учетом проведенной математической формализации задачи можно поставить оптимизационную задачу.

Формулировка задачи синтеза оптимального управления

Определить (синтезировать) оптимальную позиционную стратегию управления u(x) системой (3.12), обеспечивающую с учетом (3.17) минимум квадратичного критерия оптимальности:

(3.18)

Где W , l - матрицы весовых коэффициентов (коэффициентов значимости), подлежащих определению, наряду со временем окончания процесса перевода - Т

Задания

1. Сформировать структуру оптимальной позиционной стратегии управления u(x) (зависящую от матрицы ) , используя достаточные условия в форме уравнения Беллмана.

2. Численно проинтегрировать матричные дифференциальные уравнения типа Риккати с целью получения (запомнить в дискретном виде) зависимости матрицы от времени.

3. Численно проинтегрировать уравнения движения СИСЗ (3.12), управляемого согласно оптимальной позиционной стратегии u(x).

4. Провести исследование всех составляющих вектора x(t) и оптимальной стратегии u(x) по времени tÎ[t_0, T] для варьируемых значений весовых коэффициентов матриц l и W с целями:

· удовлетворения ограничений (3.17) с наибольшим запасом (что будет означать максимальную экономию топлива);

· выбора наиболее приемлемых решений по фазовому и конечному состоянию СИСЗ (отклонения от требуемого фазового состояния).

5. Построить графики зависимости: u(x) , u(t), x(t); tÎ[t_0, T], x₁(x₂) для рекомендуемых коэффициентов матриц l и W.

Определение исходных данных:

Вариант №2

Требуемый угол перевода СИСЗ по стационарной орбите от φ = 60 угл. градусов до 0 угл. градусов;

Вариант №8

Требуемый угол перевода СИСЗ по стационарной орбите от φ = 40 угл. градусов до 0 угл. градусов;

Вариант №12

Требуемый угол перевода СИСЗ по стационарной орбите от φ = 30 угл. градусов до 0 угл. градусов;

Вариант №16

Требуемый угол перевода СИСЗ по стационарной орбите от φ = 20 угл. градусов до 0 угл. градусов;

III-я группа заданий
(задания: №3, №6, №11, №14)

В третьей группе заданий рассматриваются задачи перевода КА на требуемую круговую орбиту с некоторой заданной в окрестности этой орбиты траектории. КА имеет двигательную установку, способную создавать управляющее ускорение u центра масс КА вдоль трансверсали к траектории. Необходимо определить оптимальную позиционную стратегию управления движением центра масс КА, обеспечивающую минимальные энергетические затраты в ходе операции перевода КА.

Формализация задачи

Предполагая, что на центр масс КА действуют только гравитационная сила и сила тяги, уравнения движения в полярной плоской системе координат будут иметь следующий вид.

(3.19)

где: r и θ- полярные координаты траектории; k_З – гравитационная постоянная Земли.

Терминальные (конечные) условия выведения определяются параметрами требуемой орбиты:

где ω₀ – угловая скорость обращения по орбите назначения, T₀ – период обращения.

Предполагая, что отклонения начального положения центра масс КА от требуемой круговой орбиты: - малы, линеаризуем уравнения (3.19) относительно параметров этой орбиты. В результате получим следующие уравнения относительного движения.

(3.20)

Если при этом ввести новые обозначения:

,

тогда уравнения (3.20) могут быть представлены в виде:

(3.21)

Начальное состояние задано вектором x₀ , конечное состояние в силу относительности движения определяется как нулевой вектор: x(t_k) = 0 , где t_k – время окончания операции перевода КА.

Формулировка задачи синтеза оптимального управления

Определить (синтезировать) оптимальную позиционную стратегию управления u(x) системой (3.21), минимизирующую квадратичный критерий оптимальности:

(3.22)

Где W , l - матрицы весовых коэффициентов (коэффициентов значимости), подлежащих определению, наряду со временем окончания операции перевода - t_k.

Задание

1) Сформировать структуру оптимальной позиционной стратегии управления u(x), зависящую от матрицы , которая должна удовлетворять системе дифференциальных уравнений типа Риккати.

2) Проинтегрировать (в «обратном» времени) уравнения типа Риккати с целью получения оптимальной позиционной стратегии управления u(x) .

3) Для варьируемых значений элементов матриц W, l и времени t_k провести исследование поведения стратегии u(x) и соответствующих составляющих вектора x(t), tÎ[t_0, t_k] .

4) Построить графики зависимости: u(x) , u(t), x(t); tÎ[t_0, t_k], x₁(x₂) .

Определение исходных данных:

Вариант №3

- гравитационная постоянная Земли - k_З = 3.986∙10¹⁴ [м³/с²]

- период обращения - T₀ = 1 сутки

- вектор состояния в момент начала управляемого движения:

Вариант №6

- гравитационная постоянная Земли - k_З = 3.986∙10¹⁴ [м³/с²]

- период обращения - T₀ = 0,2 суток

- вектор состояния в момент начала управляемого движения:

Вариант №11

- гравитационная постоянная Земли - k_З = 3.986∙10¹⁴ [м³/с²]

- период обращения - T₀ = 0,5 суток

- вектор состояния в момент начала управляемого движения:

Вариант №14

- гравитационная постоянная Земли - k_З = 3.986∙10¹⁴ [м³/с²]

- период обращения - T₀ = 1 сутки

- вектор состояния в момент начала управляемого движения:

IV-я группа заданий
(задания: №4, №5, №9, №10, №15)

В четвёртой группе заданий рассматриваются задачи спуска специального посадочного аппарата – пенетратора в заданную область поверхности Марса с максимальной точностью. Пенетратор имеет двигательную установку, позволяющую создавать ограниченное управляющие ускорение a< a_max перпендикулярно траектории спуска (в вертикальной плоскости). Необходимо определить оптимальную позиционную стратегию управления, обеспечивающую минимальные энергетические затраты при спуске пенетратора.

Формализация задачи

Предполагая, что на пенетратор действуют только гравитационная и управляющая силы, а также считая, что спуск пенетратора осуществляется по траектории с большими углами наклона траектории и с небольшой высоты, то есть высота полета является монотонной функцией времени (только убывает), уравнения движения пенетратора в скоростной плоской системе координат будут иметь следующий вид (высота h рассматривается в качестве независимой переменной).

(3.23)

где: v, θ, h, l – соответственно скорость, угол наклона траектории, высота и дальность спуска пенетратора; g₀ – ускорение свободного падения на Марсе - 3.73∙[м/с²].

Начальные условия спуска определяются для каждого варианта задания индивидуально. Высота окончания спуска - момент касания поверхности Марса: h_k=0 – фиксирует терминальное (конечное) состояние системы (3.23).

Линеаризация задачи

Пусть определена опорная траектория с указанными выше начальными условиями: v₀, θ₀ и l₀ = 0 м , которая обеспечивает требуемое попадание пенетратора в заданную точку на поверхности Марса. Предполагая, что отклонения , вызываемые действующими возмущениями, малы, линеаризуем уравнения (3.23) относительно опорной траектории x^опор (∙).

Если ввести новые обозначения , а также рассматривать управление только как корректирующее полет пенетратора, то есть a = a^опор +u , при a^опор = 0, то линеаризованные уравнения возмущенного движения в вариациях можно представить в виде:

(3.24)

где А(h) и В(h) – матрицы частных производных по вектору фазового состояния и управлению системы (3.23) соответственно. Очевидно, что их коэффициенты будут зависеть от высоты h:

,

Моментом окончания спуска следует считать h_k = 0.

Формулировка задачи синтеза оптимального управления

Определить (синтезировать) оптимальную позиционную стратегию управления u(x) системой (3.24), минимизирующую квадратичный критерий оптимальности:

(3.25)

Где W , l - матрицы весовых коэффициентов (коэффициентов значимости).

Задание

1) Проинтегрировать уравнения движения (3.23) и «запомнить» зависимости v(h), θ(h) (для заданных граничных условий) с целью вычисления переменных коэффициентов матриц А(h) и В(h).

2) Сформировать структуру оптимальной позиционной стратегии управления u(x), зависящую от матрицы , которая должна удовлетворять системе дифференциальных уравнений типа Риккати.

3) Проинтегрировать с учетом А(h) и В(h) уравнения типа Риккати с целью получения оптимальной позиционной стратегии управления u(x).

4) Для варьируемых значений матриц (весовых коэффициентов) W и l провести исследование поведения стратегии u(x) и соответствующих составляющих вектора x(h), hÎ[h_0, h_k]

5) Построить графики зависимостей: u(x) , u(h), x(h); hÎ[h_0, h_k], x₁(x₂) .

Определение исходных данных:

Вариант №4

Для данного варианта определены следующие начальные условия:

· скорость входа КА в атмосферу Марса – v₀ = 2000 м/с;

· угол наклона траектории – θ₀ = - 20 град.

Высота включения системы наведения пенетратора в заданную точку на поверхности Марса – h₀ = 6000 м.

В качестве возмущений предлагается рассматривать отклонения от заданных начальных условий: l₀ θ₀ на высоте – h₀ , а именно:

Вариант №5

Для данного варианта определены следующие начальные условия:

· скорость входа КА в атмосферу Марса – v₀ = 3000 м/с;

· угол наклона траектории – θ₀ = - 15 угл.град.

Высота включения системы наведения пенетратора в заданную точку на поверхности Марса – h₀ = 5000 м.

В качестве возмущений предлагается рассматривать отклонения от заданных начальных условий: l₀ θ₀ на высоте – h₀ , а именно:

Вариант №9

Для данного варианта определены следующие начальные условия:

· скорость входа КА в атмосферу Марса – v₀ = 2500 м/с;

· угол наклона траектории – θ₀ = - 10 угл.град.

Высота включения системы наведения пенетратора в заданную точку на поверхности Марса – h₀ = 7000 м.

В качестве возмущений предлагается рассматривать отклонения от заданных начальных условий: l₀ θ₀ на высоте – h₀ , а именно:

Вариант №10

Для данного варианта определены следующие начальные условия:

· скорость входа КА в атмосферу Марса – v₀ = 3500 м/с;

· угол наклона траектории – θ₀ = - 5 угл.град.

Высота включения системы наведения пенетратора в заданную точку на поверхности Марса – h₀ = 8000 м.

В качестве возмущений предлагается рассматривать отклонения от заданных начальных условий: l₀ θ₀ на высоте – h₀ , а именно:

Вариант №15

Для данного варианта определены следующие начальные условия:

· скорость входа КА в атмосферу Марса – v₀ = 4000 м/с;

· угол наклона траектории – θ₀ = - 7 угл.град.

Высота включения системы наведения пенетратора в заданную точку на поверхности Марса – h₀ = 9000 м.

В качестве возмущений предлагается рассматривать отклонения от заданных начальных условий: l₀ θ₀ на высоте – h₀ , а именно: