Ифференциальное исчисление функций нескольких переменных
лементы линейной алгебры и аналитической геометрии
11-20. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
1) длину ребра АВ;
2) угол между ребрами АВ и AS;
3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;
4) площадь основания пирамиды;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой АВ;
7) уравнение плоскости АВС;
8) проекцию вершины S на плоскость АВС;
9) длину высоты пирамиды.
11. А(-2;0;0); В(0;3;0); C(0;0;1); S(0;2;3).
12. А(4;0;0); В(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).
13. А(-2;0;0); В(0;6;0); C(0;0;2); S(-1;6;4).
14. А(1;0;0); В(0;2;0); C(0;0;2); S(1;1;4).
15. А(-3;0;0); В(0;-2;0); C(0;0;1); S(-2;-1;3).
16. А(6;0;0); В(0;-3;0); C(0;0;2); S(4;-3;4).
17. А(3;0;0); В(0;-6;0); C(0;0;1); S(1;-3;3).
18. А(-4;0;0); В(0;4;0); C(0;0;2); S(-2;4;3).
19. А(-6;0;0); В(0;2;0); C(0;0;3); S(-3;2;5).
20. А(-1;0;0); В(0;5;0); C(0;0;2); S(-1;3;4).
41-50.На плоскости дана линия своим уравнением в полярной системе координат r=r(φ). Требуется: 1) построить линию по точкам, давая φ допустимые значения через промежуток , начиная от φ=0 до φ=2π; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить какая это линия.
41. . 42.
.
43. . 44.
.
45. . 46.
.
47. . 48.
.
49. . 50.
.
51-60. Дана система линейных уравнений:
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
91-100. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3+a=0.
91. . 92.
.
93. . 94.
.
95. . 96.
.
97. . 98.
.
99. . 100.
.
101-105. Построить график функции
преобразованием графика функции
101. ; 102.
;
103. ; 104.
;
105. .
106-110.Построить график функции преобразованием графика функции
.
106. 107.
;
108. 109.
;
110. .
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111. а) ; б)
;
в) ; г)
.
112. а) ; б)
;
в) ; г)
.
113. а) ; б)
;
в) ; г)
.
114. а) ; б)
;
в) ; г)
.
115. а) ; б)
;
в) ; г)
.
116. а) ; б)
;
в) ; г)
.
117. а) ; б)
;
в) ; г)
.
118. а) ; б)
;
в) ; г)
.
119. а) ; б)
;
в) ; г)
.
120. а) ; б)
;
в) ; г)
.
131 – 140. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
2. Производная и её приложение
141-150. Найти производные данных функций.
141. а) ; б)
;
в) ; г)
; д)
.
142. а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
.
143. а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
.
144. а) ; б)
;
в) ; г)
; д)
.
145. а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
.
146. а) ; б)
;
в) ; г)
; д)
.
147. а) ; б)
;
в) ; г)
;
д) .
148. а) ; б)
;
в) ; г)
; д)
.
149. а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
.
150. а) ; б)
;
в) ; г)
;
д) .
151-160. Найти и
.
151. а) ; б)
.
152. а) ; б)
.
153. а) ; б)
.
154. а) ; б)
.
155. а) ; б)
.
156. а) ; б)
.
157. а) ; б)
.
158. а) ; б)
.
159. а) ; б)
.
160. а) ; б)
.
риложения дифференциального исчисления
101-110. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
191. . 192.
.
193. . 194.
.
195. . 196.
.
197. . 198.
.
199. . 200.
.
ифференциальное исчисление функций нескольких переменных
231. Дана функция .
Показать, что .
232. Дана функция .
Показать, что .
233. Дана функция .
Показать, что .
234. Дана функция .
Показать, что .
235. Дана функция .
Показать, что .
236. Дана функция . Показать, что
.
.
237. Дана функция .
Показать, что .
238. Дана функция .
Показать, что .
239. Дана функция .
Показать, что .
240. Дана функция .
Показать, что .
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
251. z=x2+y2-9xy+27; 0≤x≤3, 0≤y≤3.
252. z=x2+2y2+1; x≥0, y≥0, x+y≤3.
253. z=3-2x2 -xy-y2; x≤1, у≤х, у≥0.
254. z=x2+3y2+x-y; x≥1, y≥-1, х+y≤1.
255. z=x2+2xy +2y2; -1≤x≤1, 0≤y≤2.
256. z=5x2-3xy +y2+4; x≥-1, y≥-1, х+y≤1.
257. z=10+2xy -x2; 0≤y≤4- x2.
258. z=x2+2xy -y2+4 x; x≤0, y≤0, х+y+2≥0.
259. z=x2 +xy-2; 4 x2-4≤y≤0.
260. z=x2+xy; -1≤x≤1, 0≤y≤3.
261-270.Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор . Найти: 1)
в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора
.
261. .
262. .
263. .
264. .
265. .
266. .
267. .
268. .
269. .
270. .
5. Неопределённый и определённыё интегралы
281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.
281. а) ; б)
;
в) ; г)
.
282. а) ; б)
;
в) ; г)
.
283. а) ; б)
;
в) ; г)
.
284. а) ; б)
;
в) ; г)
.
285. а) ; б)
;
в) ; г)
.
286. а) ; б)
;
в) ; г)
.
287. а) ; б)
;
в) ; г)
.
288. а) ; б)
;
в) ; г)
.
289. а) ; б)
;
в) ; г)
.
290. а) ; б)
;
в) ; г)
.
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
301. . 302.
.
303. . 304.
.
305. . 306.
.
307. .
308.
.
309. . 310.
.
ифференциальные уравнения
321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.
321. . 322.
.
323. . 324.
.
325. . 326.
.
327. . 328.
.
329. . 330.
.
341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям
,
.
341. ;
,
.
342. ;
,
.
343. ;
,
.
344. ;
,
.
345. ;
,
.
346. ;
,
.
347. ;
,
.
348. ;
,
.
349. ;
,
.
350. ;
,
.