Линейные математические модели

Наиболее простыми являются так называемые линейные детерминированные модели. Они задаются в виде линейной формы управляющих переменных (х):

W = a₀ + a₁x₁ + … + a_kx_k

при линейных ограничениях вида

b_1j x₁ + b_2j x₂ + … + b_kj x_k ³ b_j , j = 1,…, q₁;

c_1j x₁ + c_2j x₂ + … + c_kj x_k = c_j , j = 1,…, q₂;

d_1j x₁ + d_2j x₂ + … + d_kj x_k £ d_j , j = 1,…, q₃.

Общее число ограничений m = q₁ + q₂ + q₃ может превосходить число переменных (m > k). Кроме того, обычно вводится условие положительности переменных (x_i ³ 0).

Поверхность отклика для линейной модели представляет собой гиперплоскость. Например, рассмотрим линейную модель двух переменных следующего вида:

W = –2x₁ –3x₂ (2.2)

при следующих ограничениях

(2.3)

2x₁ + 3x₂ £ 18;

x₁ – 4x₂ £ 4;

–2x₁ + x₂ £ 2;

х₁ ³ 0; x₂ ³ 0.

Область допустимых значений (область определения) OABCD для модели (2.2) образована ограничениями (2.3) (Рис. 2.2). Поверхность отклика представляет собой плоский многоугольник OA'B'C'D' (рис. 2.2, б).

При определенном соотношении ограничений множество допустимых решений может отсутствовать (пусто). Пример такого множества показан на рис. 2.3. Прямые АС и ВС ограничивают область допустимых значений сверху. Третье ограничение отсекает область допустимых значений снизу от прямой АВ. Таким образом, общей области, удовлетворяющей всем трем ограничениям, нет.

Линейные модели достаточно просты и поэтому, с одной стороны, предполагают существенное упрощение задачи, а с другой – допускают разработку простых и эффективных методов решения.

При исследовании ДЛА линейные модели используются редко и почти исключительно при приближенном описании задач.

Линейные модели могут использоваться при поэтапной аппроксимации нелинейных моделей (линеаризация задачи). Особенно эффективен этот прием при изучении небольших областей исследуемого пространства. Представление отдельных участков нелинейной поверхности отклика линейной моделью лежит в основе большой группы методов оптимизации, так называемых методов с линейной тактикой.

Исследование линейных моделей не представляет труда. В частности влияние каждой из переменных на характеристики модели вида

W = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + …+ a_kx_k

задается ее коэффициентами:

, i = 1,…, k.

Для нахождения оптимума линейной модели W_опт разработан эффективный симплекс-метод.

К линейным иногда сводятся простейшие модели стоимости, рассматриваемые как совокупность производимых затрат.

Примером такой модели является классическая модель стоимости перевозок (транспортная задача) (Рис. 2.4).

Имеется k пунктов производства
(i = 1,…, k) и m пунктов потребления
(j = 1,…, m) некоторого продукта. Количество продукта, произведенного в каждом из k пунктов производства, равно a_i; количество продукта, необходимого в каждом из m пунктов потребления, равно b_j.

Предполагается равенство общего производства и потребления:

.

Количество продукта, перевозимого из i-го пункта производства в j-й пункт потребления, равно x_ij; стоимость перевозки единицы этого продукта – с_ij.

Суммарная стоимость перевозок С_S задается линейной моделью:

при следующих ограничениях

К линейным также относятся модели в виде линейных дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных).

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

. (2.10)

Начальные условия записываются как

.

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет вид

.

Модель, заданная в виде дифференциального уравнения в частных производных, включает начальные и граничные условия (условия на границе области определения функции F(t)).

2.3. Исследование простейшей математической модели
работы газотурбинного двигателя

Газотурбинный двигатель (ГТД) является основной силовой установкой современных самолетов.

Схема ГТД имеет вид, показанный на рис. 2.5.

Здесь 1 – входной диффузор; 2 – компрессор; 3 – камера сгорания; 4 – турбина;
5 – выходное сопло.

Цикл работы ГТД включает следующие этапы:

1) Набегающий со скоростью V поток воздуха через диффузор поступает в компрессор.

2) Компрессор, вращаясь на одном валу с турбиной, сжимает воздух, который поступает в камеру сгорания.

3) В камеру сгорания постоянно впрыскивается топливо (керосин), которое смешивается со сжатым воздухом.

4) Газ, образующийся от сгорания, поступает на турбину, которая разгоняет его до скорости W.

5) С этой скоростью газ через сопло выбрасывается в атмосферу.

За счет того, что W > V, образуется сила тяги Р, которая позволяет самолету осуществлять полет в атмосфере.

Изменение силы тяги осуществляется путем изменения скорости впрыска топлива в камеру сгорания с помощью перемещения ручки управления двигателем (РУД). Перемещение РУД на определенный угол d_РУД осуществляется либо вручную летчиком, либо с помощью исполнительного устройства по сигналам от САУ полетом. Увеличение значения d_РУД вызывает возрастание силы Р, а уменьшение – убывание этой силы.

ГТД является сложной технической системой, в которой протекает значительное число физических и химических процессов. Двигатель оснащен всевозможными устройствами автоматики, системами поворота и охлаждения турбинных лопаток и т.д. Естественно, математическое описание функционирования ГТД также будет достаточно громоздким, включающим в себя системы дифференциальных уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, трансцендентных функций, алгоритмы цифровой системы управления двигателем. Такие модели используются в процессе проектирования ГТД.

Для решения задач управления полетом используется более простая модель ГТД, представляющая собой зависимость силы тяги Р от угла d_РУД отклонения РУД. Процесс изменения силы тяги описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

, (2.11)

где t > 0 – постоянная времени двигателя, зависящая кроме конструктивных характеристик также от температуры окружающего воздуха, его влажности и других внешних факторов; k [кг/град] – коэффициент пропорциональности.

Начальное условие для уравнения (2.11) записывается как

Р(0) = Р₀. (2.12)

Таким образом,уравнение (2.11) совместно с начальным условием (2.12) представляет собой простейшую математическую модель работы ГТД, записанную в виде обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Для определения коэффициента пропорциональности k используются градуировочные графики зависимости тяги от угла поворота РУД, построенные на основе экспериментальных данных. Тангенс угла наклона графика равен искомому коэффициенту.

Интегрирование уравнения (2.11) с начальным условием (2.12) позволяет выяснить, как изменяется сила тяги во времени (рис. 2.6).

При отклонении РУД тяга Р нарастает и затем стабилизируется на определенном предельном значении, т.е. ГТД является инерционным объектом.

Предельное значение силы тяги получаем из (2.11), когда скорость ее изменения равна нулю:

. (2.13)

Длительность нарастания зависит от значения постоянной времени двигателя t. Процесс считается установившимся при t = t_уст , когда тяга входит в так называемый пятипроцентный коридор от предельного значения силы тяги (рис. 2.6). Чем больше t, тем инерционнее двигатель и, следовательно, больше t_уст.

На рис. 2.7 показано поведение силы тяги в зависимости от угла отклонения РУД при t = 0,5.

Сила тяги при взлете, когда РУД отклонена на 10°, выходит на установившийся режим на третьей секунде и достигает величины 3390 кг. Через десять секунд после взлета, когда РУД отклонена на 20°, сила тяги устанавливается на величине 6780 кг, и еще через десять секунд, когда РУД отклонена на 30°, сила тяги устанавливается на величине 10170 кг. Предельное значение силы тяги равно
14270 кг.