Экстремум функции двух переменных
Определение 11.Точка называется точкой максимума функции , определённой в области , если существует –окрестность точки такая, что для всех точек полное приращение .
Определение 12.Точка называется точкой минимума функции , определённой в области , если существует –окрестность точки такая, что для всех точек полное приращение .
Определение 13.Точка max или точка min функции называется точкой экстремума (точкой ext).
Определение 14. Значения функции в точках max и точках min называются соответственно максимальными (max) и минимальными (min) значениями функции .
Теорема 5(необходимые условия существования ext).
Если точка является точкой ext, то в этой точке обе частные производные и равны нулю.
З а м е ч а н и е. В точках ext частные производные могут и не существовать.
П р и м е р 6. – конус. Точка – точка ext, в которой и не существуют.
Обратная теорема не верна.
П р и м е р 7. ; , ,
имеем точку .
В любой малой окрестности точки приращение не сохраняет знака. Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Определение 15. Точки, в которых и равны нулю или не существуют, называются критическими точками на ext.
Теорема 6(достаточный признак). Пусть функция трижды непрерывно дифференцируема и точка критическая, т.е. и в точке .
Если полный дифференциал знакопостоянен, то точка является точкой экстремума, причем точкой max, если и точкой min, если .
– квадратичная форма относительно приращений и . Введём обозначения: , , .
Определение 16. Квадратичная форма называется положительно определённой (отрицательно определённой),если и ( ).
Таким образом,
1) , точка – точка min;
2) , точка – точка max,
3) точка не является точкой экстремума;
4) требуется дополнительное исследование для точки .
Задание 4. Найти критические точки функции и исследовать их характер.
Решение.
1) найдем частные производные первого порядка.
2) для нахождения критических точек решим систему.
Точка (21,20) – критическая.
3) с помощью частных производных второго порядка проверим достаточное условие существования экстремума.
Получили, что точка (21,20) является точкой максимума.
Рис.4 – Решение задания 4
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1.С помощью линий уровня исследовать поведение функции и построить ее график.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. .
Задача 2.Для указанной функции найти полные дифференциалы первого и второго порядка в точке .
1. , Р(1,2,3); 2. , Р(1,-1,2);
3. , Р(2,3,4); 4. , Р(1,1,1);
5. , Р(1,2,2); 6. , Р(3,1,2);
7. , Р(1,1,2); 8. , Р(1,2,3);
9. , Р(1,-1,0); 10. , ;
11. , Р(1,4,2); 12. , Р(3,3,1);
13. , Р(1,3,4); 14. , ;
15. , Р(2,2,3).
Задача 3.Для указанной функции найти производную по направлению вектора в точке .
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
Задача 4.Найти критические точки функции и исследовать их характер.
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. .
Содержание отчета по работе
1. Исходное задание и цель работы.
2. Распечатка контрольного примера и результатов машинного расчета.
4.5 Выводы по работе.
Контрольные вопросы