Экстремум функции двух переменных

Говорят, что функция Экстремум функции двух переменных - student2.ru имеет максимум в точке Экстремум функции двух переменных - student2.ru , т.е. при Экстремум функции двух переменных - student2.ru , если Экстремум функции двух переменных - student2.ru для всех точек Экстремум функции двух переменных - student2.ru , достаточно близких к точке Экстремум функции двух переменных - student2.ru и отличных от неё.


Говорят, что функция Экстремум функции двух переменных - student2.ru имеет минимум в точке Экстремум функции двух переменных - student2.ru , т.е. при Экстремум функции двух переменных - student2.ru , если Экстремум функции двух переменных - student2.ru для всех точек Экстремум функции двух переменных - student2.ru , достаточно близких к точке Экстремум функции двух переменных - student2.ru и отличных от неё.


Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.


Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция Экстремум функции двух переменных - student2.ru достигает экстремума при Экстремум функции двух переменных - student2.ru , то каждая частная производная первого порядка от Экстремум функции двух переменных - student2.ru или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.


Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку Экстремум функции двух переменных - student2.ru функция Экстремум функции двух переменных - student2.ru имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка Экстремум функции двух переменных - student2.ru является критической точкой функции Экстремум функции двух переменных - student2.ru , т.е.
Экстремум функции двух переменных - student2.ru ,
тогда при Экстремум функции двух переменных - student2.ru :
1) Экстремум функции двух переменных - student2.ru имеет максимум, если дискриминант Экстремум функции двух переменных - student2.ru и Экстремум функции двух переменных - student2.ru , где Экстремум функции двух переменных - student2.ru ;
2) Экстремум функции двух переменных - student2.ru имеет минимум, если дискриминант Экстремум функции двух переменных - student2.ru и Экстремум функции двух переменных - student2.ru ;
3) Экстремум функции двух переменных - student2.ru не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант Экстремум функции двух переменных - student2.ru ;
4) если Экстремум функции двух переменных - student2.ru , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y ′ ) = 0, в котором x — независимая переменная, y(x) — неизвестная функция. Диф- ференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется уравнение dy dx = f(x, y). Правую часть уравнения будем считать определенной на некотором открытом множестве D плоскости (x, y). Иногда уравнение записывают в виде M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (0.3) и называют уравнением первого порядка, записанным в дифференциалах

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными имеют вид f(y)dy=g(x)dx. К ним сводятся многие дифференциальные уравнения первого порядка. В общем случае решение такого уравнения — это интегрирование обеих частей:

Экстремум функции двух переменных - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение первого порядка y′=f(x,y) называется уравнением сразделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: f(x,y)=p(x)h(y), где p(x) и h(y) − непрерывные функции.

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в видеy′+a(x)y=b(x)ym,где a(x) и b(x) − непрерывные функции.

Если m=0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m=1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

В общем случае, когда m≠0,1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки z=y1−m.Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет видz′+(1−m)a(x)z=(1−m)b(x)

Дифференциальное уравнение xdy+ydx=0 является уравнением в полных дифференциалах, так как d(xy)= xdy+ydx . Поэтому xy = C есть общее решение этого уравнения. 2. Аналогично для уравнения 2xydx+x2dy=0 выражение x2y=C есть общее решение, так как левая часть этого уравненияявляется дифференциалом функции u(x,y)=x2y .

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
 
В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в видеF(x,y,y′,y′′)=0,где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y′′, то его можно представить в следующем явном виде:y′′=f(x,y,y′).В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:y′′=f(x),y′′=f(y),y′′=f(y′),y′′=f(x,y′),y′′=f(y,y′).С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7): · Функция F(x,y,y′,y′′) является однородной функцией аргументов y,y′,y′′; · Функция F(x,y,y′,y′′) является точной производной функции первого порядка Φ(x,y,y′).
Типы дифференциальных уравнений Перечислены основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ), допускающие решение. Для каждого типа указана ссылка на страницу, содержащую метод решения и подробные примеры. См. также: Дифференциальные уравнения – основные определения, классификация и свойства их решений Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Далее в тексте Экстремум функции двух переменных - student2.ru - функции своих аргументов. Штрих ' означает производную по аргументу. Экстремум функции двух переменных - student2.ru - постоянные. Дифференциальные уравнения первого порядка Особенности дифференциальных уравнений первого порядка При решении уравнений первого порядка функцию y и переменную x следует считать равноправными. То есть решение может быть в виде y(x) так и в виде x(y). Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Уравнения с разделяющимися переменными Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru Подробнее >>> Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Экстремум функции двух переменных - student2.ru Подробнее >>> Однородные уравнения Экстремум функции двух переменных - student2.ru Подробнее >>> Уравнения, приводящиеся к однородным Экстремум функции двух переменных - student2.ru Подробнее >>> Обобщенные однородные уравнения Экстремум функции двух переменных - student2.ru Подробнее >>> Линейные дифференциальные уравнения
  • Линейное по y Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru
  • Линейное по f(y) Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru
  • Линейное по x Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru
  • Линейное по f(x) Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru
Подробнее >>> Уравнения Бернулли Экстремум функции двух переменных - student2.ru Подробнее >>> Уравнения Риккати Экстремум функции двух переменных - student2.ru Подробнее >>> Уравнения Якоби Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru Экстремум функции двух переменных - student2.ru Подробнее >>> Уравнения в полных дифференциалах Экстремум функции двух переменных - student2.ru при условии Экстремум функции двух переменных - student2.ru

/



Наши рекомендации