Некоторые сведения о последовательностях

Министерство образования и науки Российской Федерации Российский химико-технологический университет

Им. Д. И. Менделеева

Ряды

(Теория и практика)

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши……………. . 4

1.1. Некоторые сведения о последовательностях………………………… . 4

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов: сходмость, расходимость, сумма ряда. Примеры……………………………………… 5

1.3. Основные свойтсва сходящихся рядов, необходимый признак сходимости…………………………………………………………………… 8

1.4. Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами……………… 12

1.5. Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами……………………………………... ………………………………. 13

Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши… 17

2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд…………….............. 17

2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами……………….... 18

2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами…… 22

2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными

членами……………………………………………………………………… 25

Лекция 3. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов……………………………………………………. 27

3.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница........................................... 27

3.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов……………. 29

3.3. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов……………………… 34

Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора.. 35

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости………. 35

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля……………………. 37

4.3. Свойтсва степенных рядов…………………………………………………. 42

4.4. Формула Тейлора…………………………………………………………… 43

Лекция 5. Ряды Тейлора и Маклорена……………………………………. 49

5.1. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора к исходной функции…………………………………………………………………. 49

5.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды…….. 53

Задания по теме «Ряды»……………………………………………………. 61

1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами…………………… 61

2. Знакопеременные ряды……………………………………………....... 66

3. Функциональные ряды………………………………………………… 69

4. Ответы………………………………………………………………… 72

Лекция 1. Числовой ряд. Основные понятия, свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Интегральный признак Коши

Некоторые сведения о последовательностях

Пусть каждому значению Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N поставлено в соответствие (по определённым правилам) определённое действительное число Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru R; тогда множество упорядоченных действительных чисел Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru называется числовой последовательностью и обозначается Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , где Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru − общий член последовательности. Например, последовательность Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru имеет общий член Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , где Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N.

Определение 1. Последовательность Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru называется убывающей, если Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N, и возрастающей, если Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N.

Определение 2. Последовательность Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru называется ограниченной сверху, если существует такое число М, Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru R, что Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N, и ограниченной снизу, если существует такое число М, Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru R, что Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N.

Определение 3. Последовательность Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru называется ограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М > 0

( Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru R), что Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Определение 4. Число а называется пределом последовательности Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ,
если для любого сколь угодно малого положительного числа Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru
найдётся такой номер Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N, зависящий от Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , что для всех натуральных чисел Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru выполняется неравенство Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru означает,

что Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N такое, что для всех Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru N: Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . При

этом говорят, что последовательность Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru сходится к числу а.

Приведём некоторые свойства сходящихся последовательностей.

–Если последовательность имеет предел, то он единственен.

–Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена.

–Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

–Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел + ¥ (− ¥).

1.2. Числовой ряд. Основные понятия теории числовых рядов:
сходимость, расходимость, сумма ряда. Примеры

Пусть задана бесконечная последовательность чисел Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru R.

Определение 5. Бесконечным числовым рядом называется выражение вида Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , обозначаемое как Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Числа Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru называются членами (элементами) числового ряда.

Определение 6. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда: Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .Тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru и т.д. Получаем последовательность частичных сумм Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru : Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Таким образом, каждому числовому ряду Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru можно поставить в соответствие последовательность частичных сумм Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru : Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Определение 7. Если существует конечный или бесконечный предел S

последовательности частичных сумм Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то он называется суммой ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Если S конечно (S < ¥), то ряд называется сходящимся; если S = ¥ или S не существует, то ряд называется расходящимся и суммы ряд не имеет.

Итак, если дан ряд, то всегда можно поставить вопрос, сходится ли он (иными словами, существует ли конечный предел Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ) или расходится?

Приведём примеры исследования ряда на сходимость и нахождения его суммы.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru и найти его сумму.

Решение. Обозначим Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru − общий член ряда. Тогда частичная сумма ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Так как Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. ряд сходится и его сумма S = 1.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru и найти его сумму.

Решение. Обозначим Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru − общий член ряда. Тогда,
частичная сумма ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Так как

Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то

Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru
Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. ряд сходится и его сумма Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Решение. Обозначим общий член ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Тогда, частичная сумма ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. сумма ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru и ряд расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.

Решение. Пусть дана геометрическая прогрессияНекоторые сведения о последовательностях - student2.ru, где q − знаменатель прогрессии. Ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru называется рядом геометрической прогрессии. Обозначим Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru − общий член ряда. При Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru n- частичная сумма этого ряда равна

Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Рассмотрим частные случаи.

–Если Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. ряд сходится.

–Если Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru не существует, т.е. последовательность Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru

расходится, а значит расходится и исследуемый ряд геометрической

прогрессии.

–При Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ряд имеет вид Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. ряд расходится.

–При Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ряд имеет вид Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. предела последовательности Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru не существует, а значит, искомый ряд расходится.

Таким образом, ряд геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , в остальных случаях ряд расходится.

1.3. Основные свойства сходящихся рядов,
необходимый признак сходимости

Пусть дан числовой ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Сформулируем его основные свойства.

Свойство 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием или присоединением конечного числа членов, то сходится и сам данный ряд, и наоборот. Иными словами, отбрасывание или
присоединение конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда.

Доказательство. Пусть Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru – частичная сумма ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru – сумма Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru отброшенных членов и Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru – сумма членов ряда, входящих в сумму Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru и не входящих в сумму Ck. При достаточно большом n все отброшенные члены будут содержаться в сумме Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru (k – фиксированное число, Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru – const). Тогда, если существует Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то существует и Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. исходный ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru сходится. И наоборот, если существует Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то существует и Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. сходится составленный ряд. Аналогично доказывается сходимость при добавлении к ряду Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru конечного числа членов.

Свойство 2. Если сходится ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru (С – константа) также сходится, причём его сумма равна Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Доказательство. Пусть Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru – частичная сумма ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , и Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru − частичная сумма ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Отсюда, если существует Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru (ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru сходится), то существует Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru также сходится.

Свойство 3. Если ряды Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru и Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru сходятся и их суммы равны A и B соответственно, то их можно почленно складывать (или вычитать), причём ряды Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru также сходятся и их суммы равны Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Доказательство. Пусть Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru и Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru – частичные суммы этих рядов, тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru

Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Переходя к пределу при Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , получим Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru

Теорема 1 (необходимый признак сходимости рядов). Пусть ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru

сходится, тогда его общий член Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru стремится к 0 (при Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ) Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru

(обратное не всегда верно).

Доказательство. Так как ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru сходится и его сумма равна S, то для его частичных сумм Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru имеют место равенства Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ; Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Что и требовалось доказать.

Условие сходимости, сформулированное в теореме 1, является необходимым, но не достаточным, т.е. при выполнении условия Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ряд может расходиться. Рассмотрим пример такого ряда: Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , где Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru − общий член ряда. Тогда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Частичная сумма ряда имеет вид Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Очевидно, каждый член этой суммы Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , тогда оценка Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru даёт неравенство: Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , следовательно, Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е. исходный ряд расходится, хотя Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Следствие из теоремы 1. Если общий член ряда аn (при Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ) не стремится к 0, то ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru расходится (достаточный признак расходимости ряда).

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru .

Решение. Обозначим общий член ряда Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Так как Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , то из следствия теоремы 1

следует, что ряд расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru

Решение. Общий член ряда имеет вид Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Данный ряд называется гармоническим, так как каждый его член равен среднему гармоническому двух соседних: Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Очевидно неравенство: Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы по 2, 4, 8, 16, …, 2k-1 членов в каждой группе. Очевидно, сумма каждой группы можно оценить следующим образом: Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ; Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ; Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , т.е.
каждая из этих сумм в отдельности больше Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Таким образом, для частичных сумм с номерами Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru выполняются неравенства: Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ,
Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , …,
Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru ,т.е. частичные суммы гармонического ряда неограниченно растут с увеличением Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru при Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru , значит, Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru . Получаем, что гармонический ряд Некоторые сведения о последовательностях - student2.ru расходится.

Наши рекомендации