Распределение относительно частоты

Ћ = k/n – относительная частота появления события А, где k – число появлений события а в n испытаниях.

0,999 – (например) абсолютная частота

Ћ = k/n = X/n - число появлений события а в n испытаниях.

M[h] = M[X/n] = 1/n*np=p

D[h] = D[X/n] = 1/n²*D[X]= 1/n^2*npq=pq/n

Ћ = k/n = X/n = X1/n + … + Xn/n~N(p, pq/n)

№10.Вероятность в непрерывных пространствах эл событий и ее св-ва. Геометрические вер-ти.

Пусть - непрерывное простр-во.

Алгебра событий (F) – это система подмножеств W, W={ω_1,,ω₂,…} кот.удовл-ет следующим свойствам: 1. ΩÎF, ÆÏF; 2. A,BÎF => A+B F, ABÎF, не А и не ВÎ F; 3. F явл-ся сигма-алгеброй, если определены операции. Для счетного числа событий.

Пусть событие А F, тогда Р(А) -вероятность, число, которое должно удовл-ть:
1.P(Ω)=1; 2.АÎВ,Р(А)≥0; 3.А∙В≠0, A+BÎF=>P(A+B)=P(A)+P(B).

=ÆÞ

Свойства вероятностей: 1.Р(Æ)=0-вер-ть невозможного события 2. 3. АÌВ- если А-следствие В, то Р(А)<=Р(В). 4. P(A+B)<=P(A)+P(B) 5. непрерывности: если

А1ÌА2Ì…ÌАnÌ… ,то ;
если А1ÉА2É…ÉАnÉ…, то

Геометрические вер-ти, Для любого подмножества А можно посчитать его площадь: Р(А)=площ.А/площ.Ω. Т.к. вер-ть пропорцион-на площади, то чем > лощадь, тем > вероятность попадания в событие. P(A)=mes(A)/mes(Ω) – мера А/мераS.

14.Мат. ожидание и дисперсия суммы случайных величин.

M[X]=m_x= M[Y]=m_y=

(M[X], M[Y])-центр распределения.Пусть X и Y - случ. вел. С конечными мат. ожиданиями. Мат. ожидание их суммы равно сумме их мат. ожиданий. M[X+Y]=

M[X]+M[Y] Пусть X и Y- взаимно независимые случ. вел с конечными мат. ожиданиями. Мат ожидание произведенияXY равно произведению их мат. ожиданий. M[XY]= =M[X]*M[Y].
Это правило распространяется на любое конечное число взаимно независимых случ. величин. Заметим, то последнее равенство для зависимых случ. величин, вообще говоря, е выполняется. Пусть X и Y- случ. Вел с совместным распределением, задаваемым таблицей (1). Условное мат. ожидание случ. dел. X при условии, что Y принимает заданное значение Y = yj, вычисляется по формуле: M[X/Y=yj]=
Дисперсия суммы случайных величин:D[X+Y] z=X+Y => D[z]=M[(z-m_z)²], а m_z=m_x+m_y

D[z]= M[((X-m_x)+(Y-m_y))²]= M[(X-m_x)²]+2 M[(X-m_x)(Y-m_y)]+

+M[(Y-m_y)²]=D[X]+2cov(X,Y)+D[Y]

Таким образом: D[X±Y]=D[X]+D[Y]±2cov(X,Y) Если X и Y независимые, то cov(X,Y)=0 => D[X±Y]=D[X]+D[Y] Рассмотрим D[aX±bY]=a²D[X]+b²D[Y]±2abcov(X,Y)

Числовые характеристики:1. Мат ожидание:

т. ожиданий. M{} т. ожиданий. M{}2.Дисперсия

Св-ва:
M[X+Y]=M[X]+M[Y] M[X*Y]=M[X]*M[Y], если X и Y независимые D[X+Y]]=D[X]+D[Y], если X и Y независимые

3.Ковариация

4.Коэффициент корреляции

(Св-ва ковариации билет 13, св-ва корреляции билет 15)

№17.Нормальный закон на плоскости.

Двумерное нормальное распределение –это распределение системы двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y), определяемой формулой.

Плотность распределения случ. вел X, f₁(x), вычисляется интегрированием f(x,y) по y:

Аналогично вычисляется плотность распред случ вел Y,f₂(y):

Формула (1) показывает,что в случае двумерного нормального распределения с плотностью (1) компоненты X и Y имеют нормальное распред, причем M[X]=m₁, D[X]=σ₁², M[Y]= m₂, D[Y]=σ₂²

Ковариация X и Y равна

cov(X,Y)=M[(X-m₁)(Y-m₂)]= = Отсюда следует,что параметр ρ в (1) есть коэффициент корреляции

Св-ва:

1.Если (X,Y) имеет норм. распред.:

Каждая компоненты этого распределения также имеет нормал. распределение

2. Если ρ=0 => f(x,y)= f₁(x) ´ f₂(x) => X и Y – независимые

3.Условная плотность распределения:

f(X/y) и f(Y/x) – нормальные плотности

Геометрически плотность f(x,y) двуменого нормального распределения (1) представляет «холмообразную » поверхность. Проекция вершины холма на плоскость xOy имеет координаты (m₁, m₂) Эта точка называется центром рассеивания.

Сечение поверхности Z=f(x,y) плоскостями , параллельными плоскости xOy, есть кривые, определяемые ур-нием:

, где λ – const. Проекциями этих кривых на плоскость xOyбудут эллипсы. Т.к. плотность f(x,y) имеет на этих кривых постоянное значение, то соответствующие эллипмсы наз. эллипсами равных вероятностей