Экзаменационная программа по линейной алгебре и аналитической геометрии для студентов 3, 6 и 9 факультетов ( каф. 311).

1. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.
2. Перестановка. Определитель n-го порядка и его свойства.
3. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам любой строки (или столбца).
4. Определитель произведения матриц. Определение обратной матрицы. Доказать теорему существования и единственности обратной матрицы.
5. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения АХ=В, YA=B.
6. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная запись. Правило Крамера.
7. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Методы нахождения ранга матрицы.
8. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
9. Теорема Кронекера - Капелли.
10. Алгоритм решения систем линейных неоднородных уравнений.
11. Однородные системы уравнений. Теорема о существовании ненулевых решений. Фундаментальная система решений.
12. Структура общего решения однородной и неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
13. Линейные пространства. Определение. Примеры.
14. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Свойства.
15. Размерность линейного пространства. Базис.
16. Координаты вектора в данном базисе. Линейные операции над векторами в координатной форме.
17. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь между координатами вектора в разных базисах.
18. Подпространства линейных пространств. Примеры. Теорема о размерности подпространства.
19. Линейные преобразования линейных пространств. Определение. Примеры.
20. Матрица линейного преобразования. Связь между матрицами и линейными преобразованиями.
21. Сложение линейных преобразований.
22. Умножение линейного преобразования на число.
23. Умножение линейных преобразований.
24. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах.
25. Обратные преобразования.
26. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Теорема о приведении линейного преобразования к диагональному виду.
27. Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного преобразования.
28. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного преобразования.
29. Инвариантность характеристического многочлена линейного преобразования.
30. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к диагональному виду в случае простого спектра.
31. Клетка Жордана. Матрица Жордана.
32. Векторы. Линейные операции над векторами.
33. Базис. Координаты вектора. Линейные операции в координатной форме.
34. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
35. Системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат.
36. Выражение координат вектора через координаты начала и конца. Деление отрезка в данном отношении.
37. Скалярное произведение, его свойства. Условие перпендикулярности двух векторов.
38. Скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Расстояние между двумя точками. Длина вектора. Угол между векторами.
39. Векторное произведение двух векторов. Его свойства. Условие коллинеарности двух векторов.
40. Векторное произведение двух векторов в координатной форме.
41. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл, свойства.
42. Смешанное произведение в координатной форме (трех векторов). Условие компланарности трех векторов.
43. Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости. Перенос начала. Полярная система координат и ее связь с прямоугольной системой.
44. Понятие об уравнениях линий и поверхностей. Уравнение окружности и сферы.
45. Различные виды уравнений прямых на плоскости: общее, с угловым коэффициентом, по точке и угловому коэффициенту, по двум точкам, в отрезках.
46. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой.
47. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности.
48. Векторно-параметрическое уравнение плоскости. Параметрические уравнения плоскости.
49. Плоскость как поверхность 1-го порядка. Нормальное уравнение плоскости.
50. Общее уравнение плоскости, приведение общего уравнения к нормальному

виду.

1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, векторное уравнение плоскости. Связка плоскостей.
2. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.
3. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
4. Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространств. Каноническое уравнение прямой.
5. Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.
6. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.
7. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и плоскости.
8. Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.
9. Канонические уравнения эллипса и параболы. Исследование их форм.
10. Каноническое уравнение гиперболы, исследование ее формы, асимптоты.
11. Цилиндрические и конические поверхности.
12. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
13. Поверхности вращения.