Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Часть 1

методические указания и контрольные

задания для студентов заочной и дистанционной форм обучения

Псков

УДК 51 Рекомендовано Научно-методическим

ББК 22 советом ППИ СПбГПУ

Андреев В.А., Цветкова Т.С., под ред. Хватцева А.А.

Высшая математика. Часть 1: Методические указания и контрольные

задания для студентов заочной и дистанционной форм обучения. – Псков, ППИ СПбГПУ, 2004. – 25 стр.

Библиография: 2

Первая часть учебного пособия по высшей математике содержит следующие разделы: линейная алгебра и аналитическая геометрия, пределы и производная; приведены программа указанных разделов, список литературы, вопросы для самоконтроля.

Учебное пособие адресовано студентам технических вузов, обучающимся по заочной и дистанционной формам обучения.

Рецензенты: доктор технических наук, академик МАН ВШ Дегтярев В.Г.,

кандидат технических наук Белов В.С.

© ППИ СПбГПУ, 2004.

Раздел 1

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Перед выполнением контрольной работы рекомендуется изучить теорию, необходимую для выполнения работы, и ответить на вопросы для самопроверки.

Вопросы для самопроверки

Дайте определения:

1. вектора и модуля вектора;

2. коллинеарности, компланарности, равенства векторов;

3. линейных операций над векторами; *)

4. базиса на прямой, на плоскости и в пространстве;

5. линейной зависимости и независимости векторов;

6. скалярного произведения векторов; *)

7. ортонормированного базиса;

8. векторного произведения векторов; *)

9. смешанного произведения трех векторов; *)

10. определителей 2-го и 3-го порядков; *)

11. полярной, цилиндрической и сферической систем координат.

12. Как выражаются введенные операции над векторами через их координаты в ортонормированном базисе?

13. Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства (плоскости)?

14. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?

15. Как можно найти точку пересечения а) двух линий на плоскости? б) трех поверхностей? в) линии и поверхности?

16. Опишите параметрический способ задания линий и поверхностей.

Напишите:

17. векторное уравнение плоскости, имеющей заданную нормаль и проходящей через заданную точку;

18. векторное уравнение прямой, имеющей заданный направляющий вектор и проходящей через заданную точку;

19. уравнения прямой, проходящей через две точки, в пространстве и на плоскости;

20. уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки;

21. формулы вычисления углов а) между двумя прямыми (на плоскости и в пространстве), б) между двумя плоскостями, в) между прямой и плоскостью;

22. условия параллельности и перпендикулярности двух прямых ( на плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости;

23. канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы; уравнения асимптот гиперболы;

24. канонические уравнения поверхностей 2-го порядка;

25. примеры уравнений линий в полярных координатах;

Дайте определения:

26. матрицы; линейных операций с матрицами; *)

27. определителя; *) минора, алгебраического дополнения;

28. решения системы линейных уравнений, совместности и несовместности системы.

29. Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли.

30. Напишите формулы Крамера и дайте условие их применимости.

31. При каком условии однородная система линейных уранений с квадратной матрицей имеет ненулевое решение?

32. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений и отыскания ранга матрицы.

Дайте определения:

33. ранга матрицы;

34. свободных и базисных неизвестных в системе линейных уравнений;

35. общего решения однородной и неоднородной линейной системы;

36. произведения двух матриц; *)

37. обратной матрицы;

38. линейного (векторного ) пространства Ln;

39. линейной зависимости и независимости векторов в Ln;

40. базиса и размерности линейного пространства Ln;

41. векторной формы записи системы линейных уравнений;

42. евклидова пространства элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ;

43. модуля вектора и угла между векторами в евклидовом пространстве элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ;

44. линейного преобразования пространства и его матрицы;

45. композиции линейных преобразований и ее матрицы;

46. собственных значений и собственных векторов линейного преобразования;

47. квадратичной формы и ее матрицы.

48. Как применяется теория квадратичных форм для приведения уравнений линий и поверхностей 2-го порядка к каноническому виду?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.Найти координаты вектора xв базисе {a,b,c}:

Указание: при решении системы применить правило Крамера.

1.1. x={ -2, 4, 7 },a={ 0, 1, 2 },b={ 1, 0, 1 }, c={ -1, 2, 4 }.

1.2. x={ 6, 12, -1 },a={ 1, 3, 0 },b={ 2, -1, 1 }, c={ 0, -1, 2 }.

1.3. x={ 1, -4, 4 },a={ 2, 1, -1 },b={ 0, 3, 2 }, c={ 1, -1, 1 }.

1.4. x={ -9, 5, 5 },a={ 4, 1, 1 },b={ 2, 0, -3 }, c={ -1, 2, 1 }.

1.5. x={ -5, -5, 5 },a={ -2, 0, 1 },b={ 1, 3, -1 }, c={ 0, 4, 1 }.

1.6. x={ 13, 2, 7 },a={ 5, 1, 0 },b={ 2, -1, 3 }, c={ 1, 0, -1 }.

1.7. x={-19, -1, 7 },a={ 0, 1, 1 },b={ -2, 0, 1 }, c={ 3, 1, 0 }.

1.8. x={ 3, -3, 4 },a={ 1, 0, 2 },b={ 0, 1, 1 }, c={ 2, -1, 4 }.

1.9. x={ 3, 3, -1 },a={ 3, 1, 0 },b={ -1, 2, 1 }, c={ -1, 0, 2 }.

1.10. x={ -1, 7, -4 },a={ -1, 2, 1 },b={ 2, 0, 3 }, c={ 1, 1, -1 }.

1.11. x={ 6, 5, -14 },a={ 1, 1, 4 },b={ 0, -3, 2 }, c={ 2, 1, -1 }.

1.12. x={ 6, -1, 7 },a={ 1, -2, 0 },b={ -1, 1, 3 }, c={ 1, 0, 4 }.

1.13. x={ 5, 15, 0 },a={ 1, 0, 5 },b={ -1, 3, 2 }, c={ 0, -1, 1 }.

1.14. x={ 2, -1, 11 },a={ 1, 1, 0 },b={ 0, 1, -2 }, c={ 1, 0, 3 }.

1.15. x={ 11, 5, -3 },a={ 1, 0, 2 },b={ -1, 0, 1 }, c={ 2, 5, -3 }.

1.16. x={ 8, 0, 5 },a={ 2, 0, 1 },b={ 1, 1, 0 }, c={ 4, 1, 2 }.

1.17. x={ 3, 1, 8 },a={ 0, 1, 3 },b={ 1, 2, -1 }, c={ 2, 0, -1 }.

1.18. x={ 8, 1, 12 },a={ 1, 2, -1 },b={ 3, 0, 2 }, c={ -1, 1, 1 }.

1.19. x={ -9, -8, -3 },a={ 1, 4, 1 },b={ -3, 2, 0 }, c={ 1, -1, 2 }.

1.20. x={ -5, 9, -13 },a={ 0, 1, -2 },b={ 3, -1, 1 }, c={ 4, 1, 0 }.

1.21. x={ 2, 7, 5 },a={ 1, 0, 1 },b={ 1, -2, 0 }, c={ 0, 3, 1 }.

1.22. x={ 15, -20, -1 },a={ 0, 2, 1 },b={ 0, 1, -1 }, c={ 5, -3, 2 }.

1.23 х={ 10, 1, 11 }, a ={ 3, 1, -1}, b={ 1, -1, 4}, c={ 2, 1, 5}

1.24 x={ 0, 6, -1}, a ={ -1, 2, 1}, b ={ 2, 1, -1}, c={ 1, 2, 2}

2.Даны координаты вершин тетраэдра А1 А2 А3 А4 . Найти:

1) длину ребра А1 А2 ;

2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4 ;

3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3 ;

4) площадь грани А1 А2 А3 ;

5) объем тетраэдра;

6) уравнения прямой А1А2 ;

7) уравнение плоскости А1 А2 А3 ;

8) уравнения высоты, опущенной из вершиныА4 на грань А1 А2 А3 ;

9) расстояние вершины А4 до грани А1 А2 А3 ;

10) расстояние вершины А4до ребра А1 А2 .

Указание: все результаты представить точно в виде радикалов, а затем привести их приближенные значения.

А1А2 А3А4

2.1.( 1, 3, 6 ) ( 2, 2, 1 ) ( -1, 0, 1 ) ( -4, 6, -3 )

2.2.( -4, 2, 6 ) ( 2, -3, 0 ) ( -10, 5, 8 ) ( -5, 2, -4 )

2.3.( 7, 2, 4 ) ( 7, -1, -2 ) ( 3, 3, 1 ) ( -4, 2, 1 )

2.4.( 2, 1, 4 ) ( -1, 5, -2 ) ( -7, -3, 2 ) ( -6, -3, 6 )

2.5.( -1, -5, 2 ) (-6, 0, -3 ) ( 3, 6, -3 ) (-10, 6, 7 )

2.6.( 0, -1, -1 ) ( -2, 3, 5 ) ( 1, -5, -9 ) ( -1, -6, 3 )

2.7.( 5, 2, 0 ) ( 2, 5, 0 ) ( 1, 2, 4 ) ( -1, 1, 1 )

2.8.( 2, -1, -2 ) ( 1, 2, 1 ) ( 5, 0, -6 ) ( -10, 9, -7)

2.9.(-2, 0, -4 ) ( -1, 7, 1 ) ( 4, -8, - 4 ) ( 1, - 4, 6 )

2.10.( 14, 4, 5 ) (-5, -3, 2 ) ( -2, -6, -3 ) ( -2, 2, -1 )

2.11.( 1, 2, 0 ) ( 3, 0, -3 ) ( 5, 2, 6 ) ( 8, 4, -9 )

2.12.( 2, -1, 2 ) ( 1, 2, -1 ) ( 3, 2, 1 ) ( -4, 2, 5 )

2.13.( 1, 1, 2 ) ( -1, 1, 3 ) ( 2, -2, 4 ) ( -1, 0, -2 )

2.14.( 2, 3, 1 ) ( 4, 1, -2 ) ( 6, 3, 7 ) ( 7, 5, -3 )

2.15.( 1, 1, -1 ) ( 2, 3, 1 ) ( 3, 2, 1 ) ( 5, 9, -8 )

2.16.( 1, 5, -7 ) (-3, 6, 3 ) ( -2, 7, 3 ) ( -4, 8, -12 )

2.17.( -3, 4, -7 ) ( 1, 5, -4 ) ( -5, -2, 0 ) ( 2, 5, 4 )

2.18.( -1, 2, -3 ) ( 4, -1, 0 ) ( 2, 1, -2 ) ( 3, 4, 5 )

2.19.( 4, -1, 3 ) ( -2, 1, 0 ) ( 0, -5, 1 ) ( 3, 2, -6 )

2.20.( 1, -1, 1 ) ( -2, 0, 3 ) ( 2, 1, -1 ) ( 2, -2, -4 )

2.21.( 2, -4, -3 ) ( 5, -6, 0 ) ( -1, 3, -3 ) ( -10, -8, 7 )

2.22.( 1, -1, 2 ) ( 2, 1, 2 ) ( 1, 1, 4 ) ( 6, -3, 8 )

2.23( -1, 2, 4) ( -1, -2, -4 ) ( 3, 0, -1 ) ( 7, -3, 1 )

2.24( 0, -3, 1 ) ( -4, 1, 2 ) ( 2, -1, 5 ) ( 3, 1, -4 )

3.Линия задана уравнением элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru =0 до элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru =2 элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru с шагом элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru /8 ;

2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

3) по уравнению в декартовых координатах определить, какая это линия.

3.1. r=2/(1+cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.2. r=4/(2-3cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.3. r=1/(2-2cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) .
3.4. r=10/(2+cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.5. r=1/(2+2cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.6. r=1/(2+3cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) .

3.7. r=5/(2-cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.8. r=8/(3-cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.9. r=2/(3-4cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) .
3.10. r=5/(1-2cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.11 r=4/(3+cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.12. r=6/4+3cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) .

3.13. r=2/(2+5cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.14. r=3/(3+4cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.15. r=2/(3-2cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) .

3.16. r=3/(5-2cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.17. r=3/(2+4cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.18. r=5/(2-3cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) .

3.19. r=1/(4-cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.20. r=1/(3+cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.21. r=4/(1-cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) .

3.22. r=2/(5-3cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.23. r=1/(2-3cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) . 3.24. r=6(1+cos элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ) .

4.Решить систему уравнений:

1) методом Гаусса;

2) средствами матричного исчисления ( x=A_-1 B ) ;

Указание: вычисления проводить с обычными дробями, не используя десятичных приближений.

4.1.х1 – х2 + 7х3 = 6 4.2.4х1 +9х2 + 2х3 = 1 4.3.8х1 + 4х2 + 3х3 = 7

1 + 3х2 - 3х3 = 10 7х1 + х2 - 4х3 = -13 2х1 + 6х2 - 2х3 = 4

1 + 2х2 + 5х3 =17 8х1 + 3х2 - х3 = -13 3х1 +10х2 + х3 = 11

4.4.10х1 + х2 + 3х3 = 19 4.5.2х1 + х2 + 5х3 = 24 4.6.х1 + 3х2 + 4х3 = 7

1 + 4х2 + 9х3 = 30 4х1 + 3х2 + 3х3 = 20 7х1 + 4х2 + 8х3 = 32

х1 + 2х2 + 2х3 = 7 х1 + 6х2 + х3 = 6 3х1 + 2х2 + 5х3 = 14

4.7.х1 + 4х2 + 6х3 = 14 4.8.х1 + 6х2 + 3х3 = 21 4.9.2х1 + 3х2 + 2х3 = 16

-2х1 + 7х2 + 4х3 = 18 4х1 + 8х2 + х3 = 18 7х1 + х2 - 7х3 = 14

1 + 2х2 + 2х3 = 6 3х1 + 5х2 + 4х3 = 33 3х1 + 8х2 + 4х3 = 27

4.10.7х1 + 4х2 + 3х3 = 2 4.11.3х1 + 2х2 + х3 = 5 4.12.х1 - 2х2 + 3х3 = 6

1 + 3х2 + 4х3 = -5 2х1 + 3х2 + х3 = 1 2х1 + 3х2 - 4х3 = 20

х1 + 5х2 - 2х3 = -13 2х1 + х2 + 3х3 = 11 3х1 - 2х2 - 5х3 = 6

4.13.4х1 – 3х2 + 2х3 = 9 4.14.х1 + х2 + 2х3 = -1 4.15.2х1 - х2 - х3 = 4

1 + 5х2 - 3х3 = 4 2х1 - х2 + 2х3 = - 4 3х1 + 4х2 - 2х3 = 11

1 + 6х2 - 2х3 = 18 4х1 + х2 + 4х3 = - 2 3х1 - 2х2 + 4х3 = 11

4.16.3х1 + 4х2 + 2х3 = 8 4.17.х1 + х2 - х3 = 1 4.18.х1 - 4х2 - 2х3 = - 3

1 - х2 - 3х3 = - 4 8х1 + 3х2 - 6х3 = 2 3х1 + х2 + х3 = 5

х1 + 5х2 + х3 = 0 4х1 + х2 - 3х3 = 3 3х1 - 5х2 - 6х3 = -9

4.19.7х1 – 5х2 = 31 4.20.х1 + 2х2 + 4х3 = 31 4.21.5х1 + 3х2 - х3 = 4

1 + 11х3 = - 43 5х1 + х2 + 2х3 = 20 х1 + 5х2 + 5х3 = 12

1 + 3х2 + 4х3 = - 20 3х1 - х2 + х3 = 9 3х1 + 4х2 - 2х3 = - 4

4.22.3х1 + 4х3 = - 5 4.232x1 + x2 - x3 = 5 4.24x1 + 2x2 +2x2 = 9

- х1 + 2х2 = 3 x1 + 2x2 +x3 = 1 2x1 - x2 +2x3 = 4

х1 + х2 + х3 = 1 3x1 - x2 + x3 = 0 3x1 + x2 - x3 = 3

5.Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы:

5.1.3x1 + x2 - 8x3 + 2x4 + x5 = 0 5.2.7x1 + 2x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = 0

2x1 - 2x2 - 3x3 - 7x4 + 2x5 = 0 x1 - 3x2 + x3 - x4 - x5 = 0

x1 + 11x2 - 12x3 + 34x4 - 5x5 = 0 2x1 + 5x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0

5.3.x1 + x2 + 10x3 + x4 - x5 = 0 5.4.6x1 - 9x2 + 21x3 - 3x4 - 12x5 = 0

5x1 - x2 + 8x3 - 2x4 + 2x5 = 0 - 4x1 + 6x2 - 14x3 + 2x4 + 8x5 = 0

3x1 - 3x2 - 12x3 - 4x4 + 4x5 = 0 2x1 - 3x2 + 7x3 - x4 - 4x5 = 0

5.5.2x1 - x2 + 2x3 - x4 + x5 = 0 5.6.5x1 - 2x2 + 3x3 - 4x4 - x5 = 0

x1 + 10x2 - 3x3 - 2x4 - x5 = 0 x1 + 4x2 - 3x3 + 2x4 - 5x5 = 0

4x1 + 19x2 - 4x3 - 5x4 - x5 = 0 6x1 + 2x2 - 2x4 - 6x5 = 0

5.7.12x1 - x2 + 7x3 + 11x4 - x5 = 0 5.8.x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 = 0

24x1 - 2 x2 + 14x3 + 22x4 - 2x5 = 0 2x1 - x2 + 3x3 + x4 - 5x5 = 0

x1 + x2 + x3 - x4 + x5 = 0 x1 + 3x2 - x3 - 6x4 - x5 = 0

5.9.2x1 - x2 + 3x3 - x4 - x5 = 0 5.10.x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0

x1 + 5x2 - x3 + x4 + 2x5 = 0 x1 - 2x2 - 3x3 + x4 - x5 = 0

x1 + 16x2 - 6x3 + 4x4 + 7x5 = 0 2x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = 0

5.11.8x1 + x2 + x3 - x4 + 2x5 = 0 5.12.x1 + 3x2 - x3 + 12x4 - x5 = 0

3x1 - 3x2 - 2x3 + x4 - 3x5 = 0 2x1 - 2x2 + x3 - 10x4 + x5 = 0

5x1 + 4x2 + 3x3 - 2x4 + 5x5 = 0 3x1 + x2 + 2x4 = 0

5.13.7x1 - 14x2 + 3x3 - x4 + x5 = 0 5.14.x1 + 2x2 + 3x3 + x4 - x5 = 0

x1 - 2x2 + x3 - 3x4 + 7x5 = 0 2x1 - 2x2 - 5x3 - 3x4 + x5 = 0

5x1 - 10x2 + x3 + 5x4 - 13x5 = 0 3x1 - 2x2 + 3x3 + 2x4 - x5 = 0

5.15.x1 + x2 + x3 - x4 - x5 = 0 5.16.2x1 + x2 - 3x3 + x4 - x5 = 0

2x1 + x2 - 2x3 - x4 - 2x5 = 0 3x1 - x2 + 2x3 - x4 + 2x5 = 0

x1 + 2x2 + 5x3 - 2x4 - x5 = 0 x1 - 2x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 0

5.17.x1 + 2x2 - 3x3 + 10x4 - x5 = 0 5.18.2x1 + x2 - x3 + 7x4 + 5x5 = 0

x1 - 2x2 + 3x3 - 10x4 + x5 = 0 x1 - 2x2 + 3x3 - 5x4 - 7x5 = 0

x1 + 6x2 - 9x3 + 30x4 - 3x5 = 0 3x1 - x2 + 2x3 + 2x4 - 2x5 = 0

5.19.2x1 - 2x2 - 3x3 - 7x4 + 2x5 = 0 5.20.3x1 + x2 - 8x3 + 2x4 + x5 = 0

x1 + 11x2 - 12x3 + 34x4 - 5x5 = 0 x1 + 11x2 -12x3 - 34x4 - 5x5 = 0

x1 - 5x2 + 2x3 - 16x4 + 3x5 = 0 x1 - 5x2 + 2x3 - 16x4 + 3x5 = 0

5.21.3x1 + 2x2 - 2x3 - x4 + 4x5 = 0 5.22x1 + x2 +3x3 - 2x4 +3x5 = 0

7x1 + 5x2 - 3x3 - 2x4 + x5 = 0 2x1 + 2x2 + 4x3 – x4 +3x5 = 0

x1 + x2 + x3 - 7x5 = 0 x1 + x2 + 5x3 – 5x4 + 6x5 = 0

5.23 x1 + 2x2 + 3x3 – 2x4 +x5 = 0 5.24 x1 + x2 + x3 + 2x4 +x5 = 0

x1 + 2x2 + 7x3 – 4x4 +x5 = 0 x1 – 2x2 – 3x3 +x4 – x5 = 0

x1 + 2x2 + 11x3 – 6x4 + x5 = 0 2x1 – x2 – 2x3 + 3x4 = 0

Пример решения: 5x1 + 2x2 - x3 + 3x4 + 4x5 = 0

3x1 + x2 - 2x3 + 3x4 + 5x5 = 0

6x1 + 3x2 - 2x3 + 4x4 + 7x5 = 0

Выпишем матрицу системы, нумеруя столбцы ( нумеровать строки необязательно):

5 2 -1 3 4

3 1 -2 3 5

6 3 -2 4 7

(1) (2) (3) (4) (5)

и приведем ее к каноническому виду, применяя элементарные преобразования: умножение строки на число, перестановку строк, сложение строк, те же операции со столбцами. При этом следим за переставляемыми столбцами по их номерам.

1) Расположим в левом верхнем углу элемент, равный 1. (Если такого элемента в матрице нет, то следует поделить любой столбец на любой отличный от 0 его элемент). Для этого поменяем местами строки (1) и (2):

3 1 -2 3 5

5 2 -1 3 4

6 3 -2 4 7

(1) (2) (3) (4) (5)

Теперь поменяем столбцы (1) и (2):

1 3 -2 3 5 [-2], [-3]

2 5 -1 3 4

3 6 -2 4 7

(2) (1) (3) (4) (5)

В дальнейшем 1-я строка не подлежит изменению!

2) Сформируем нули во 2-й и 3-й строках первого столбца. Для этого умножим 1-ю строку на 1-й элемент 2-й строки и вычтем из 2-й строки. Так же поступим с 3-й строкой. (Множители указаны в [ ] .)

1 3 -2 3 5

0 -1 3 -3 - 6 [ -1]

0 -3 4 -5 -8

(2) (1) (3) (4) (5)

В дальнейшем 1-й столбец не подлежит изменению!

3) Превратим в «1» 2-й элемент на главной диагонали, то есть стоящий во 2-й строке и 2-ом столбце. В нашем примере достаточно умножить на (-1) вторую строку. (В общем случае следует поделить 2-ю строку на этот элемент. Если же он равен 0, то предварительно переставляют строки не трогая 1-й (!), или столбцы не трогая 1-й (!).)

1 3 -2 3 5

0 1 - 3 3 6 [ 3 ]

0 -3 4 -5 -8

(2) (1) (3) (4) (5)

В дальнейшем 2-я строка не подлежит изменению!

4) Превратим в «0» 3-й элемент 2-го столбца. Для этого умножим 2-ю строку на (+3) и сложим с 3-ей.

[ 1 3 -2 ] 3 5

[ 0 1 - 3 ] 3 6

[ 0 0 - 5 ] 4 10

(2) (1) (3) (4) (5)

Под главной диагональю стоят нули, а на самой главной диагонали их нет. Этот вид и является каноническим. (В других вариантах 3-я строка, или даже 2-я и 3-я вместе, могут состоять из одних нулей.) Минор, содержащий ненулевые элементы главной диагонали, является базисным, (здесь он указан скобками [ ] ), а исходные номера входящих в него столбцов: (2) (1) (3) -- определяют номера базисных неизвестных; остальные неизвестные – свободные, и члены уравнений, содержащие их, переносят в правую часть.

5) Полученный вид матрицы и деление неизвестных на базисные и свободные позволяют переписать систему так:

x2 + 3x1 -- 2x3 = -- 3x4 -- 5x5

x1 -- 3x3 = -- 3x4 -- 6x5

-- 5x3 = -- 4x4 -- 10x5

и выразить базисные неизвестные через свободные:

x3 = (4/5) x4 + 2x5

x1 = 3x3 – 3x4 – 6x5 = (- 3/5) x4

x2 = -- 3x1 + 2x3 – 3x4 – 5x5 = (2/5) x4 – x5

6) Полученное решение представим в виде линейной комбинации столбцов фундаментальной системы решений, образующей базис в линейном пространстве решений. Таких столбцов столько, сколько свободных неизвестных (здесь = 2).Проще всего последовательно придать одной из свободных неизвестных произвольное ненулевое значение, а остальные свободные неизвестные принять нулями.

В нашем примере удобно взять

1. x4 (1) = 5, x5 (1) = 0. Тогда x1 (1) = - 3, x2 (1) = 2, x3 (1) = 4

2. x4 (2) = 0, x5 (2) = 1. Тогда x1 (2) = 0, x2 (2) = - 1, x3 (2) = 2

Теперь общее решение можно записать так: x= C1 x(1) + C2 x(2). (Здесь С1, С2 – произвольные постоянные), или развернуто:

[x1] = [ - 3 ] [ 0 ]

[x2] = [ 2 ] [ - 1 ]

[x3] = C1 [ 4 ] + C2 [ 2 ]

[x4] = [ 5 ] [ 0 ]

[x5] = [ 0 ] [ 1 ]

Полезно проверить, что столбцы x(1) , x(2) являются частными решениями исходной системы, то есть сделать прямую подстановку.

Сформулируем ответ на вопрос задачи: размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных, (т.е. 2), а базисом в этом пространстве могут служить два найденных частных решения: x(1) , x(2) .

6.Дано уравнение кривой 2-го порядка. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы соответствующей квадратичной формы и использовать их для приведения уравнения кривой к каноническому виду. Указать тип кривой.

6.1.– x2 – y2 + 4xy + 2x – 4y + 1 = 0 6.2. 2x2 + 2y2 -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0

6.3.2xy + 2x – 2y = 0 6.4.-- 2x2 -- 2y2 + 2xy -- 6x + 6y + 3 = 0

6.5. – 3x2 – 3y2 + 4xy -- 6x + 4y + 2 = 0 6.6. -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0

6.7. – x2 – y2 -- 4xy -- 4x – 2y + 2 = 0 6.8. --4x2 -- 4y2 +2xy +10x--10y +1=0

6.9. 2xy + 2x – 2y -- 1 = 0 6.10. x2 + y2 + 2xy -- 8x – 8y + 1 = 0

6.11. x2 + y2 + 4xy -- 8x – 4y + 1 = 0 6.12. x2 + y2 -- 2xy -- 2x + 2y -- 7 = 0

6.13. 2xy + 2x + 2y -- 3 = 0 6.14. 4x2 + 4y2 +2xy +12x + 12y +1 = 0

6.15. 3x2 + 3y2 + 4xy + 8x +12y + 1 = 0 6.16. x2 + y2-- 8xy -- 20x + 20y + 1 = 0

6.17. 3x2 + 3y2 -- 2xy -- 6x + 2y + 1 = 0 6.18. 4xy + 4x + 4y + 1 = 0

6.19. 3x2 + 3y2 -- 4xy + 6x – 4y -- 7 = 0 6.20. -- 2xy -- 2x + 2y + 3 = 0

6.21. 2x2 + 2y2 + 4xy + 8x + 8y + 1 = 0 6.22x2 + y2 – 4xy +4x – 2y +1 = 0
6.233x2 + 3y2 – 4xy +4x +4y +1 = 0 6.24-4xy + 8x +8y +1 = 0

Рассмотрим пример 5x2 + 5y2 -- 2xy + 10x – 2y + 1 = 0

1) Выпишем симметричную матрицу квадратичной формы

5x2 + 5y2 -- 2xy: A= [ 5 -1]

[-1 5 ]

2) Находим собственные значения:

элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru Det (A – элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru E) = элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru = (5 – l )2 – 1 = 0

Корни характеристического уравнения элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru 2 - 10 элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru +24 = 0, очевидно, таковы: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru 1 = 4,

элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru 2 = 6.

3) Найдем собственные векторы матрицы А, рассматривая однородную систему:

( 5 – элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru )u1 – u2 = 0

– u1 + ( 5 – элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru )u2 = 0

При элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru 1 = 4 имеем u1 =u2 и в качестве первого собственного вектора примем

u(1) = (1 ; 1)T .

( Знак (Т) означает транспонирование .) Нормируем его:

элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru e(1)=u(1) / элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru =(1 ; 1)T / элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

(Напомним: если u = (u1 , u2 )T , то | u | = элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .)

При элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru 2 = 6 имеем u1 = -u2. В качестве второго собственного вектора примем u(2) = (1 ; -1)T и нормируем его:

e(2)=u(2) / | u(2) |=(1 ; -1)T / элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

4) Сделаем замену координат элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru , где матрица перехода S имеет столбцами нормированные собственные векторы e(1) ,e(2) , то есть элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru .

В новых координатах квадратичная форма примет вид

5x2 + 5y2 -- 2xy = l1x12 + l2 y12 = 4x12 + 6y12 .

Это следует из общей теории, но полезно использовать равенство

(Ax,x) = (ASx1, Sx1) = ( S TASx1, x1) = ( A 1x1, x1), откуда

A1 =S TAS = diag(l1 , l2) = элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ,

и проверить результат непосредственным матричным умножением.

В новых координатах уравнение кривой примет вид:

4x12 + 6y12 + 5 элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru (x 1+ y 1) -- элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru (x 1 -- y 1) +1 = 0.

7) Параллельным переносом осей координат устраним линейные члены. Соберем члены, содержащие x 1 и выделим полный квадрат:
4x1 2 + 4 элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru x1 = 4(x1 + элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru /2)2 – 2.

Аналогично поcтупим с членами, содержащими y1:
6 y1 2 + 6 элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru y1 =6(y1 + элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru /2)2 – 3.

Делаем замену переменных:

x2 = x1 + элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru /2; y2 = y1 + элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru /2 ,

в результате которой уравнение кривой принимает вид 4x2 2 + 6y2 2 – 4 = 0, и после деления на свободный член получаем

элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru -- каноническое уравнение эллипса.

Раздел 2

I. Функция

1. Дайте определение функции. Что называют областью определения и множеством значений функции.

2. Каковы способы задания функции? Примеры.

3. Какая функция называется сложной?

4. Дайте определения основных элементарных функций.

5. Дайте определения четной и нечетной функции. Примеры.

6. Какая функция называется периодической?

Задания для контрольной работы .

Задание 1. Найти предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.1. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.2. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.3. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.4. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.5. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.6. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.7. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.8. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.9. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.10. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.11. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.12. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.13. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.14. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.15. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.16. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.17. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.18. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.19. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.20. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru
в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.21 а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.22 а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.23 а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

1.24 а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru г) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru ,0

Задание 2. Найти производные указанных функций.

2.1. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.2. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.3. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.4. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.5. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.6. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.7. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.8. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.9. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.10. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.11. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.12. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.13. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.14. а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru

2.15 а) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru б) элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - student2.ru в)