Аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие операции сложения, умножения, сравнения чисел и связь между этими операциями

Замечание 1.

Запись рациональных чисел в виде (7) требует обоснования, которое заключается в объяснении сходимости числового ряда, т.е. существования конечного числа, являющегося результатом бесконечного суммирования в следующей записи:

(9)

Объяснение того, что эта сумма представляет конечное число, основано на формальных оценках

позволяющих показать, что сумма (9) не превосходит n сумм геометрических прогрессий:

Аксиоматика рациональных чисел.

Конструктивное определение рациональных чисел Q дано в схеме 2 предыдущего пункта. Приведем аксиоматическое определение. Оно содержит тот минимум правил, который обеспечил построение множества Q в предыдущем пункте.

Определение 1.

Множество Q называется множеством рациональных чисел, а его элементы - рациональными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой рациональных чисел:

Аксиомы операции сложения.

Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент х+у Î Q , называемый суммой х и у. При этом выполняются следующие условия:

1. (Существование нуля) Существует элемент 0 (нуль) такой, что для любого хÎQ

х+0=0+х=х.

2. Для любого элемента х Î Q существует элемент - х Î Q (противоположный х) такой, что

х + (-х) = (-х) + х = 0.

3. (Коммутативность) Для любых х,у Î Q

х + у = у + х

4. (Ассоциативность) Для любых х,у,zÎ Q

х + (у + z) = (х + у) + z

Аксиомы операции умножения.

Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху Î Q, называемый произведением х и у. При этом выполняются следующие условия:

5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1 Î Q такой, что для любого х Î Q

х ^.1 = 1^. х = х

6. Для любого элемента х Î Q , (х 0) существует обратный элемент х^-1 0 такой же, что

х^.х ^-1 = х^-1. х = 1

7. (Ассоциативность) Для любых х, у,z Î Q

х ^. (у ^. z) = (х ^.у) ^. z

8. (Коммутативность) Для любых х, у Î Q

х ^. у = у^. x

Аксиома связи сложения и умножения.

9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z Î Q

(х+у) ^. z = x ^. z+у ^. z

Аксиомы порядка.

Всякие два элемента х, у, Î Q вступают в отношение сравнения . При этом выполняются следующие условия:

10. (х у)L (у x) x=у

11. (х у)L (у z) x z

12. Для любых х, у Î Q либо х< у, либо у < x .

Отношение < называется строгим неравенством,

Отношение = называется равенством элементов из Q.

Аксиома связи сложения и порядка.

13. Для любых x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Аксиома связи умножения и порядка.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Аксиома непрерывности Архимеда.

15. Для любых a > b > 0 существует m Î N и n Î Q такие, что m ³ 1, n < b и a= mb+n.

Следствие.

Аксиомы множества Q позволяют:

1. Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов).

2. Определить алгоритмы реализации операций ±, ´, :, £ в систематической записи рациональных чисел.