Вычисление интегралов Стилтьеса

Если функция интегрируема в смысле Римана в промежутке , а представлена интегралом

где функция абсолютн интегрируема в , то

Интеграл справа существует. Существование Стилтьеса было уже доказано в п.3 (III). Остается лишь установить равенство (11).

Предположим, что - положительная функция (для упрощения).

Составим сумму Стилтьеса

Так как, с другой стороны, можно написать

то будем иметь

Очевидно, для будет где - это колебание функции в промежутке . Отсюда выкает оценка написанной выше разности:

Т.к. в п.3 (III) мы доказали, что при стремится к 0, следовательно

Если с интегралом сходится и интеграл , то интеграл называют абсолютно сходящимся, а функцию fix
) - аб
солютно интегрируемой в промежутке [а, + ]

что и доказывает формулу (11).

При прежних предложениях относительно функции допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда

Интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ буквально как дифференциал, заменить его выражением .

Если функция оказывается разрывной, то начнем с рассмотрения «стандартной» разрывной функции , определяемой равенствами

Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке x=0 справа, причем величина скачка равна 1; в точке x=0 слева и в остальных точках функции непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке x=c справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке x=c слева, причем величина скачка будет равна -1.

Предположим, что функция непрерывна в точке x=c, и вычислим интеграл

где при (c=b этот интеграл равен нулю).

Составим сумму Стилтьеса:

Пусть точка c попадет в k-й промежуток, так что Тогда , а при . Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: . Пусть теперь . По непрерывности . Следовательно, существует (при )

Аналогично можно убедиться в том, что (при )

(при c=a этот интеграл обращается в нуль).

Пусть функция в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек

Терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой

Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции в точках a
или b – односторонние (если на деле какой-либо из этих точек скачка нет, то соответствующее слагаемое суммы обращается в нуль).

Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции справа и слева:

очевидно, для

Составим вспомогательную функцию:

которая как бы вбирает в себя все разрывы функции , так что разность оказывается непрерывной (по доказанному ранее).

Для значений , отличных от всех , непрерывность функции не вызывает сомнений, т.к. для этих значений непрерывны обе функции и . Докажем непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы , кроме члена , непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения При оно имеет значение ; но таков же и предел при

Аналогично проверяется и непрерывность функции в точке слева.

Далее, если взять точку (отличную от всех ), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем

Для непрерывности функции по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса

Точно так же легко вычислить и интеграл (с учетом (13), (14))

Складывая почленно эти два равенства, придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от по функции

устанавливается попутно свойство в п.4.
продолжение

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.

Рассмотрим интеграл

предполагая функцию непрерывной и положительной а -монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений

выражает некоторую кривую (K) , разрывную, как на рисунке.

Если при некотором функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно и то же предельное значение , равное ). Дополним кривую (K) всем горизонтальным отрезками, соединяющими пары точек
отвечающие всем скачкам функции (по рисунку). Таким образом, составится уже непрерывная кривая (L). Покажем, что интеграл (16) представляет площадь фигуры под этой кривой, т.е. площадь фигуры, ограниченной кривой (L), осью x и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .

С этой целью разложим промежуток на части точками

и в соответствии с этим промежуток на оси - на части точками

Введя наименьшее и наибольшее значения функции в i-ом промежутке , составим нижнюю и верхнюю суммы Стилтьеса – Дарбу

Они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

Так как при стремлении в 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (16), то отсюда следует, что фигура, изображенная на рисунке квадрируема и площадью ее служит действительно интеграл (16).

Теорема о среднем, оценки.

Пусть в промежутке функция ограничена: , а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула

То есть это теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.

Доказательство:

Переходя к пределу, получим

Возьмем , т.к. случай (т.е. ) не представляет интереса: обе части формулы (18) – нули.

Тогда

Обозначая написанное отношение через и придем к (18).

Если в промежутке непрерывна, тогда и есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (18) имеет вид

Пусть непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива оценка интеграла Стилтьеса:

где

Доказательство:

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить (21).

Пусть в промежутке функция ограничена, монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула

и почленно вычитая эти равенства, получим

Обозначим через колебание функции в промежутке , тогда

для , то, применяя оценку (21) к каждому интегралу с границами в отдельности, получаем:

Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все – произвольное наперед заданное взятое число, тогда