Задачи для решения в аудитории

Занятие №2

Дифференциальные уравнения 1-го порядка (2).

Необходимые сведения.

1. Уравнения с разделяющимися переменными.Метод разделения переменных:

Если ДУ имеет вид (или может быть приведено к такому виду): ,

где , то оно называется ДУ с разделяющимися переменными.

Тогда

Отдельно следует проверить, не является ли интегралом ДУ выражение .

Если ответ положителен, то это выражение следует добавить к полученному решению.

1. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Уравнения вида при допускают разделение переменных, если произвести линейную замену или

1. Уравнения с однородной правой частью и приводящиеся к ним.

• Если ДУ имеет вид (или может быть приведено к такому виду): , то оно называется ДУ с однородной правой частью.

Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой:

или

• Уравнение вида при сводятся к однородному, если перенести начало координат в точку пересечения прямых

и ,

т.е. заменой , , где - точка пересечения прямых.

• Некоторые уравнения вида , где P и Q не являются однородными функциями одного порядка сводятся к однородному заменой .

1. Линейные ДУ I , уравнения Бернулли и уравнения Риккати.

• Уравнение вида называется линейным уравнением 1-го порядка.

Структура общего решения такого уравнения: ,

где – общее решение соответствующего однородного уравнения ,

а – частное решение данного неоднородного.

Общее решение однородного легко находится, т.к. переменные разделяются, и оно имеет вид: . Общее решение неоднородного ищется в виде .

• Уравнение Бернулли – это уравнение вида:

Оно сводится к линейному заменой: .

• Уравнение Риккати – это уравнение вида:

Оно сводится к уравнению Бернулли заменой , где - какое-то решение уравнения Риккати

1. Уравнения в полных дифференциалах.

• Уравнение вида , заданное в области D, называется уравнением в полных дифференциалах, если такая непрерывная в D функция , что левая часть уравнения есть полный дифференциал этой функции ( ).Тогда решение .

Достаточным условием того, что уравнение является ур-нием в полных дифференциалах, служит равенство:

Дифференциальные уравнения 2 курс 3-ий семестр.

Задачи для решения в аудитории.

1. Найти решения уравнений, удовлетворяющих заданному начальному условию (НУ):

1.1. , НУ:

1.2 , НУ:

1.3 , НУ:

2. С помощью линейной замены переменных привести уравнение к уравнению с разделяющимися переменными и найти общее решение:

2.1.

3. Найти общее решение уравнений:

3.1 3.2 3.3

3.4 3.5

4. Найти общее решение линейного ДУ I

· методом вариации произвольной постоянной (Лагранжа):

4.1 4.2

· не применяя метод Лагранжа (с помощью искусственного приёма):

4.3

5. Найти ортогональные траектории семейства кривых .

6. Решить уравнения, сводя их к линейным:

6.1 (Бернулли)

6.2 (Риккати)

Домашнее задание.

1. 2. 3.

4. 5.

6. 7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14. 15.

Дополнительно: Задачи для подготовки к контрольной работе, защите т.р., экзамену:

1.Сб.задач по ДУ Филиппова: №№ 51-65, 101-129, 137-160,186-194

2.Сб.задач по ДУ Романко: №№ 1-51 (стр.12-13), 57-87(стр.14-15),1-95 (стр.20-23), 1-18 (стр.28-29)

3.Сб.задач Ефимов-Поспелов т.2: №№ 10.22-10.105,10.130-10.164.