Задачи для решения в аудитории

3.1.Из букв слова «математика» составленного с помощью разрезной азбуки наудачу последовательно извлекают 4 буквы и складывают в ряд. Какова вероятность, что получится слово «тема»? Ответ. .

3.2.При стрельбе по мишени одно из двух орудий имеет 800 попаданий на 1000, а второе – 750 попаданий на 1000. Оба орудия выстрелили по мишени по одному разу. Какова вероятность того, что мишень будет поражена? Ответ. .

3.3.В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Три игрока по очереди извлекают по одному шару, отмечают его цвет и возвращают обратно. Выигрывает тот, кто первым достанет черный шар. Найдите вероятность того, что выиграет первый игрок, второй, третий? Ответ. .

3.4.Студент знает билета из . В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или вторым? Ответ. Вероятности одинаковы и равны .

3.5.Прибор состоит из 3 независимо работающих элементов. Вероятности отказов элементов за время различны и соответственно равных , . Найти вероятности того, что за время откажут а) все элементы; б) два элемента; в) один элемент; г) ноль элементов.

Ответ: а) 0,006; б) ; в) ; г) .

3.6.Над изготовлением изделия работают последовательно k рабочих, каждый из которых может допустить брак с вероятностью . С какой вероятностью при изготовлении изделия будет допущен брак, если промежуточный контроль качества отсутствует? Ответ: .

3.7.Два стрелка независимо друг от друга делают по два выстрела (каждый по своей мишени). Для первого стрелка вероятность попадания при одном выстреле - , а для второго - . Выигрывает тот стрелок, у которого будет больше пробоин. Найти вероятность выигрыша первого стрелка.

Ответ. .

3.8.Вероятность попадания торпеды в цель равна 0,7. Найдите вероятность поражения цели не более чем за три выстрела. Ответ. 0,973.

3.9.Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна , и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна . Ответ. .

3.10.Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью , незнание с вероятностью . Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов знает билетов из , Петров – лишь , а остальные студенты знают все билеты? Ответ. .

3.11.Имеются три партии деталей по деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно , 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найдите вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии. Ответ. .

3.12.Планируется ракетный залп по кораблю противника. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна 0,4. Вероятность поражения корабля при попадании одной, двух, трех, четырех ракет соответственно равна 03; 0,4; 0,5; 0,6.Найдите вероятность поражения корабля. Ответ. .

3.13.В условиях предыдущей задачи корабль был поражен. Какова вероятность того, что он был поражен попаданием трех ракет? Ответ. .

3.14.В студенческой группе 70% - юноши. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал: а) юноше? б) девушке?

Ответ. а) , б) .

3.15.Из сдающих экзамен студентов семеро знают все билетов, двое знают по билетов и один знает билетов. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью , незнание с вероятностью . Какова вероятность того, что первый вызванный наудачу студент сдаст экзамен? Ответ. .

3.16.На шахматную доску ставят двух слонов одного цвета. Какова вероятность, что слоны окажутся на одной диагонали? Ответ. .

3.17.Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найдите вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль. Ответ. .

3.18.В условиях задачи 5.15 взятое изделие прошло упрощенный контроль. Найдите вероятность того, что оно стандартное. А если оно дважды прошло упрощенный контроль? Ответ. 0,9967; .

3.19.Из букв слова «вероятность» составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекают 6 букв и складывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «трость»? Ответ. .

3.20. Вероятность выхода из строя в течение времени проводящего элемента цепи, изображенной на рис. равна . Все элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что вся цепь не выйдет из строя в течение времени .

Решение.

Введем случайные события: , , . По условию, события , , , независимы и , . Выразим событие через события , , , . Из рисунка видно, что . События , , , являются независимыми, поэтому .

События и являются независимыми, но совместными, поэтому .

Из двух последних формул находим, что

.

Отсюда, учитывая, что , получаем искомую вероятность

.

3.21. Вероятность выхода из строя в течение некоторого времени -го элемента указанной цепи равна . Все элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найти вероятность того, что вся цепь не выйдет из строя в течение времени .

Ответ:

3.22. Вероятность выхода из строя в течение некоторого времени -го элемента указанной цепи равна . Все элементы цепи функционируют независимо друг от друга. Найти вероятность того, что вся цепь не выйдет из строя в течение времени .

Ответ:

3.23.Устройство состоит из а) пяти последовательно включенных элементов; б) пяти параллельно включенных элементов. Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0,80. Определитt вероятность безотказной работы всего устройства, полагая, что отказы отдельных элементов независимы.

Ответ: а) ≈ 0,33; б) ≈ 1

3.24. Работа некоторого устройства прекратилась из-за выхода из строя одного из 4-х блоков. Производится последовательная замена наудачу взятого блока новым до тех пор, пока устройство не начнет работать (новые блоки не заменяются). Какова вероятность того, что придется заменить: а) один блок; б) два блока; в) четыре блока?

Ответ: а) ¼; б) ¼; в) ¼.

3.25.Надежность (т.е. вероятность безотказной работы) прибора равна 0,7. Для повышения надежности данного прибора он дублируется другими такими же приборами. Сколько приборов надо взять, чтобы повысить его надежность до 0,95?

Ответ: .

3.26.Для повышения надежности данного прибора он дублируется несколькими такими же приборами так, чтобы полученная система работала (она работает, если работает хотя бы один из приборов). Сколько приборов надо взять, чтобы повысить его надежность до заданной вероятности ?

Ответ: .

3.27.Найти вероятность отказа схемы, предполагая, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером равна 0,2.

Ответ: .