Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

и функция w(x,t) , будет уже решением однородной смешанной задачи

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

которая решается в соответствии с простейшей схемой метода Фурье.

Как и при решении задачи 229 придем к ряду

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

где Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru положительные нули цилиндрической функции J0(x). Что касается коэффициентов Аk, то из начального условия w/t=0=0 будет следовать

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Второе начальное условие приведет к равенству

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

откуда в силу ортогональности собственных функций с весом r на[0,l] найдем Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Чтобы вычислить J1 , нужно сделать замену переменной интегриро- вания и воспользоваться равенством (73), соответственно получим

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Чтобы вычислить

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

заметим, что

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru , Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

удовлетворяют уравнениям

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Умножив первое из этих уравнений на y2( r ), второе на y1( r), вычитая полученные результаты и интегрируя в пределах от 0 до l, будем иметь

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Возвращаясь теперь к J2 , получим

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Подставляя теперь найденные значения J1 и J2в выражение для Вk , найдем

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

В итоге придем к ответу

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Заметим в заключение, что рассматривается так называемый нерезо- нансный случай, когда Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

233. Найти радиальное распределение температуры в бесконечном круго- вом цилиндре радиуса l , боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре u0 . Начальная температура внутри цилиндра равна нулю.

Р е ш е н ие. После перевода текста на формулы придем к смешанной задаче

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

С помощью замены

u(r,t)=u0+v(r,t)

получим смешанную задачу для функции v(r,t):

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

решение которой уже ищем в виде произведения R(r)и T(t) так, что

v(r,t)=R(r)T(t).

Разделив переменные, придем к двум обыкновенным дифферен- циальным уравнениям:

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

С учетом граничных условий относительно радиальной функции R(r) придем к задаче Штурма Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru Лиувилля

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Такая задача уже встречалась ранее в задачах 229 и 230, ее собствен- ные значения и собственные функции будут

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Собственные функции ортогональны между собой с весом р(r)=r. Дифференциальное решение для функции T(t) имеет вид

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

его можно решить как линейное с постоянным коэффициентом и мето- дом разделения переменных, тогда получим

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Перемножая Tk(t) на собственные функции и суммируя, придем к ряду

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Подставляя этот ряд в начальное условие, будем иметь

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Итак решение исходной задачи будет выражаться рядом

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

234. Дан неограниченный цилиндр радиуса l , на поверхности которого поддерживается постоянная концентрация u0 вещества. Определить коли- чество вещества, продиффундировавшего внутрь цилиндра в момент вре- мени t, на единицу длины, если начальная концентрация u(r,t)/t=0=0.

Р е ш е н и е. Поскольку уравнение теплопроводность есть одновре -

менно и уравнение диффузии, то будем иметь смешанную задачу

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Эта задача идентична встретившейся задаче 233 , поэтому ее решение сразу выписываем:

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Теперь мы должны взять интеграл от концентрации, т. е.

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

235. Дана неограниченная цилиндрическая труба Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru , и ее началь- ная температура u(r,0)=f(r). Внутренняя и наружная поверхности трубы поддерживаются при нулевой температуре. Найти распределение температуры в сечении u(r,t) при t>0.

Р е ш е н и е. Здесь возникает смешанная задача

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Полагая u(r,t)=R(r)T(t), после разделения переменных придем к соот- ношениям

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

С учетом граничных условий для радиальной функции получим зада- чу Штурма Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru Лиувилля

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Собственные функции будут ортогональными на отрезке [r1 ,r2] с весом r.

Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Подставив его в граничные условия, придем к соотношениям

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

для определения С1, С2 и λ .Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальные решения, если ее определитель

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Корни Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru уравнения

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

и будут собственными значениями, а собственные функции, как нетрудно проверить, будут иметь вид

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

как уже отмечалось, они образуют ортогональную систему с весом r на отрезке Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru Найдем квадрат нормы

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Через yn(r) обозначим функцию

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Радиальная собственная функция Rn(r) и yn(r) суть соответственно решения уравнений

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Умножим первое уравнение на yn(r),второе – на Rn(r), вычтем из пер- вого второе и проинтегрируем по отрезку [r1, r2.]. В итоге получим

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

откуда следует, что

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Здесь использованы соотношения, вытекающие из определения соб-

ственных значений и формулы для определителя Вронского

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Из дифференциального уравнения для временной функции

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

поэтому умножая Tn(t) на собственную функцию, найдем ряд

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Подставляя этот ряд в начальное условие, будем иметь

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Ответ запишется в форме

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

где Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

236. Найдите распределение температуры внутри бесконечного круглого цилиндра радиуса l , если начальная температура Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru и на поверхности цилиндра поддерживается нуле- вая температура.

237. Решите задачу о свободных колебаниях однородной круглой мемб- раны радиуса l, закрепленной по краю, если начальные скорости ее точек равны нулю, а начальное отклонение

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Здесь Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru положительный корень уравнения Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Решите следующие смешанные задачи

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы - student2.ru

Наши рекомендации