Анықтамасы, түрлері, мысалдары

Айталық, V және V¢ – F өрісінде берілген векторлық кеңістіктер болсын.

Анықтама. Бір өрісте берілген V векторлық кеңістігін V¢ векторлық кеңістігіне бейнелейтін бейнелеуді оператор деп атайды.

Анықтама. Бір өрісте берілген V векторлық кеңістігін V¢ векторлық кеңістігіне бейнелейтін операторы аддитивті және біртекті болса, оны сызықтық оператор дейді.

операторының аддитивтік шарты:

а,b V (a + b) = (a ) + (b),

операторының біртектілік шарты:

а V F ( a) = (a).

Ескертулер:

1). Сызықтық оператордың аддитивтік және біртектілік шарттарын біріктіріп төмендегіше бір шарт етіп жазуға болады:

а,b V , F ( a + b) = (a) + (b).

2). Сызықтық оператор гомоморфизм екені түсінікті.

3). Егер V¢ кеңістігі сан жиыны болса (Z,Q,R,C), онда сызықтық операторды сызықтық функционал деп атайды.

4). Егер V және V¢ кеңістіктері беттессе, онда V кеңістігінде берілген сызықтық операторды, кейде, сызықтық түрлендіру деп те атайды.

Осыларды ескеріп, векторлық кеңістікте берілген (анықталған) сызықтық оператордың анықтамасын былайша тұжырымдауға болады:

Анықтама.

def

( : V V –сыз. операт.) ( а,b V , F ( a+ b)= (a)+ (b) )

Бұл анықтамадан, векторлық кеңістікте берілген сызықтық оператор – сол кеңістіктің эндоморфизмі екені түсінікті.

Сызықтық оператордың анықтамадан шығатын 2 қарапайым қасиеттері бар:

1 . = = 0 F болса, ( 0 ) = 0 сызықтық оператор нольдік векторды орынында қалдырады (немесе сызықтық оператор нольдік векторды өз – өзіне көшіреді).

2 . Оператордың сызықтық болу шартын бірнеше векторлар үшін жалпылауға болады, яғни

( а + ... + а ) = (a ) + ... + (а ).

Мысалдар.

1). Кезкелген V векторлық кеңістігінде тепе – тең бейнелеу (х) = х (х V) сызықтық оператор болады. Шынында да,

( a + b) = a + b = (a) + (b) –сызықтық оператор.

Оны бірлік оператордейді.

2). Кезкелген V векторлық кеңістігінің барлық векторын нольдік векторға көшіретін (х) =0(х V) бейнелеуі де сызықтық оператор болады. Шынында да, ( a+ b) = 0= 0+ 0= (a) + (b) –сызықтық оператор.

Оны нольдік оператордейді.

3). С – үздіксіз функциялар кеңістігінде бейнелеу ретінде дифференциал- дау заңдылығын d(f ) = f ¢ алайық. Онда ол да сызықтық оператор болады. Шынында да, d( a + b) = ( a + b)¢ = |дифференциалдау ережелері бойынша| = a¢ + b¢ = d(a)+ d(b) d–сызықтық оператор.

Оны дифференциалдау операторыдейді.

4). Айталық, V векторлық кеңістігі өзінің екі ішкі кеңістігінің тура қосындысы болсын: V = W W . Онда х = х + х бірмәнді өрнектелуіндегі

х – х векторының W -ге проекциясы ( W -ге параллель) деп,

х – х векторының W -ге проекциясы ( W -ге параллель) деп аталады.

х векторына х векторын сәйкестікке қоятын заңдылықты қарастырайық. Оны V кеңістігін W ішкі кеңістігіне (W -ге параллель) проекциялау деп атап, деп белгілейді: (х) = х .

(Сәйкесінше, (х) = х алынса, ол V кеңістігін W ішкі кеңістігіне (W -ге параллель) проекциялау болады).

Қосынды тура қосынды болғандықтан, әрбір х векторы үшін х бірмәнді анықталады. Сондықтан заңдылығы, шынында да, бейнелеу болады. Осы бейнелеуі сызықтық оператор болатынын өзіңіз тексеріңіз.

Оны проекциялау операторыдейді.

5). F өрісінде берілген кезкелген V векторлық кеңістігінде, тұрақтандырылған F скаляры үшін, (х) = х (х V) бейнелеуі де сызық- тық оператор болады. (Тексеріңіз).

Оны ұқсастық операторыдейді.