Уравнения поверхности и линии в пространстве

Пусть x, y, x – произвольные переменные величины. Это означает, что под символами x, y, z подразумеваются какие угодно (вещественные) числа. Соотношение вида

F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) означает какое – нибудь выражение, содержащее x, y, z, будем называть уравнением с тремя переменными x, y, z, если F(x, y, z) = 0 есть равенство, верное не всегда, т.е. не для всяких троек чисел x, y, z.

Пусть в пространстве дана какая – нибудь поверхность и вместе с тем выбрана некоторая система координат.

Уравнение данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Поверхность, определенная данным уравнением (в некоторой системе координат), есть место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Замечание. Если М (x, y, z) – переменная точка поверхности, то x, y, z называют текущими координатами.

В пространственной аналитической геометрии каждая линия рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно этому определяется заданием двух уравнений. F(x, y, z)

Именно, если F(x, y, z) = 0 и f (x, y, z) = 0 суть уравнения двух поверхностей, т.е. точек, координаты которых удовлетворяют одновременно и уравнению

F(x, y, z) = 0 и f (x, y, z) = 0.

Т. о., 2 уравнения Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru совместно определяют линию L.

Геометрическая задача разыскания точек пересечения трех поверхностей равносильна алгебраической задаче совместного решения системы трех уравнений с тремя неизвестными.

3. Уравнение плоскости:

  • общее уравнение плоскости, частные случаи;

Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Доказательство.

Считая заданной некоторую декартову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольную плоскость α и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем любую М0 (x0, y0, z0) лежащую на плоскости α, выберем любойвектор неравный 0 и перпендикулярный к плоскости α. Выбранный вектор обозначим буквой n., его проекции на оси координат буквами А, В, С.

Пусть M(x, y, z) - любая точка. Она лежит на плоскости α, в том и только в том случае, когда Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru перпендикулярна Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru .

Получим уравнение плоскости α, если выразим это условие через координаты x, y, z.

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru , Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru .

Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения, т.е. суммы попарных произведений соответствующих координат этих векторов. Т.о., Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru перпендикулярна Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru в том и только в том случае, когда

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru

(1) – это и есть искомое уравнение плоскости α,

так как ему удовлетворяют x, y, z т. М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости α.

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru
Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru . Обозначая число Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru , получим

Плоскость α действительно определяется уравнением первой степени.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения первой степени, именно случаи, когда какие – либо из коэффициентов A, B, C, D обращаются в 0.

1) D = 0; Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru - определяет плоскость, проходящую через начало координат. Действительно числа x = 0, y = 0, z = 0 удовлетворяют уравнению Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru =>

=> (0; 0; 0) Î плоскости.

2) С = 0; Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru - определяет плоскость параллельную оси Oz (или проходящую через эту ось). Действительно, в этом случае нормальный вектор Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru имеет нулевую проекцию на ось Oz (С = 0); следовательно, этот вектор перпендикулярен Oz, а сама плоскость параллельна ей (или проходит через нее).

3) B = 0 и С = 0; уравнение Ax + D = 0 и определяет плоскость, параллельные координаты плоскости Oxz ( или совпадающую с ней). Действительно, в этом случае нормальный вектор Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru имеет нулевые проекции на оси Oy и Oz следовательно Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru и Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru , а сама плоскость параллельна им (или проходит через каждую из них). Но это и означает, что плоскость, определяемая уравнением Ax + D = 0 , параллельна плоскости Oyz или совпадает с ней.

  • нормальное уравнение плоскости;

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru

Пусть дана какая – нибудь плоскость π. Проведем через (0; 0) прямую n перпендикулярную плоскости π – будем называть эту прямую нормалью, и пометим P точку, в которой она пересекает плоскость π. На нормали введем +-оенаправление от точки 0 к точке P (если точка P совпадет с 0, т.е. если данная плоскость проходит через (0; 0), то + направление нормали выберем произвольно) a, b, Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru - углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат, через Р – длину отрезка ОР. Выведем уравнение плоскости π, считая известными числа cosa, cosb, cos Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru и Р. С этой целью возьмем на плоскости π любую точу М(x, y, z). Проекция Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru на нормаль равна ОР, а так как + направление нормали совпадает с направлением отрезка Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru , то влияние этого отрезка выражается + числом.

Р, т.о. прn Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru = Р (1)

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru => (следствие: если некоторая ось n составляет с координатными осями углы a, b, Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru , то проекция произвольного вектора Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru на эту ось определяется равенством: прn Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru ).

прn Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru (2)

Из равенства (1) и (2) следует, что Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru = Р или

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru (3)

Уравнение плоскости (3) называется нормальным уравнением плоскости; в этом уравнении cosa, cosb, cos Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru направляющие cos нормали, Р – расстояние плоскости от начала координат.

  • уравнение плоскости, проходящей через три точки;

В пространстве R3 введена прямоугольная система координат (x1; x2; x3).

Даны три точки не лежащие на одной прямой

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru

Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку х, то ее уравнение имеет вид:

(1) Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru , где Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru одновременно неравны 0. Так как она проходит еще через точки Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru и Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru , то должны выполнятся условия:

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru (2).

Составим однородную линейную систему уравнений относительно неизвестных

(z1, z2, z3): Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru (3).

Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru
Здесь Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru есть любая точка, удовлетворяющая уравнению плоскости (1). В силу (1) и (2) системе (3) удовлетворяет нетривиальный вектор Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru поэтому определитель этой системы равен 0.

(4).

Уравнение (4) можно еще написать и в следующем виде:

 
 
Уравнения поверхности и линии в пространстве - student2.ru

(5).

Наши рекомендации