Уравнения поверхности и линии в пространстве

Пусть x, y, x – произвольные переменные величины. Это означает, что под символами x, y, z подразумеваются какие угодно (вещественные) числа. Соотношение вида

F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) означает какое – нибудь выражение, содержащее x, y, z, будем называть уравнением с тремя переменными x, y, z, если F(x, y, z) = 0 есть равенство, верное не всегда, т.е. не для всяких троек чисел x, y, z.

Пусть в пространстве дана какая – нибудь поверхность и вместе с тем выбрана некоторая система координат.

Уравнение данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Поверхность, определенная данным уравнением (в некоторой системе координат), есть место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Замечание. Если М (x, y, z) – переменная точка поверхности, то x, y, z называют текущими координатами.

В пространственной аналитической геометрии каждая линия рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно этому определяется заданием двух уравнений. F(x, y, z)

Именно, если F(x, y, z) = 0 и f (x, y, z) = 0 суть уравнения двух поверхностей, т.е. точек, координаты которых удовлетворяют одновременно и уравнению

F(x, y, z) = 0 и f (x, y, z) = 0.

Т. о., 2 уравнения совместно определяют линию L.

Геометрическая задача разыскания точек пересечения трех поверхностей равносильна алгебраической задаче совместного решения системы трех уравнений с тремя неизвестными.

3. Уравнение плоскости:

• общее уравнение плоскости, частные случаи;

Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Доказательство.

Считая заданной некоторую декартову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольную плоскость α и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем любую М₀ (x₀, y₀, z₀) лежащую на плоскости α, выберем любойвектор неравный 0 и перпендикулярный к плоскости α. Выбранный вектор обозначим буквой n., его проекции на оси координат буквами А, В, С.

Пусть M(x, y, z) - любая точка. Она лежит на плоскости α, в том и только в том случае, когда перпендикулярна .

Получим уравнение плоскости α, если выразим это условие через координаты x, y, z.

, .

Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения, т.е. суммы попарных произведений соответствующих координат этих векторов. Т.о., перпендикулярна в том и только в том случае, когда

(1) – это и есть искомое уравнение плоскости α,

так как ему удовлетворяют x, y, z т. М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости α.

Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде . Обозначая число , получим

Плоскость α действительно определяется уравнением первой степени.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения первой степени, именно случаи, когда какие – либо из коэффициентов A, B, C, D обращаются в 0.

1) D = 0; - определяет плоскость, проходящую через начало координат. Действительно числа x = 0, y = 0, z = 0 удовлетворяют уравнению =>

=> (0; 0; 0) Î плоскости.

2) С = 0; - определяет плоскость параллельную оси Oz (или проходящую через эту ось). Действительно, в этом случае нормальный вектор имеет нулевую проекцию на ось Oz (С = 0); следовательно, этот вектор перпендикулярен Oz, а сама плоскость параллельна ей (или проходит через нее).

3) B = 0 и С = 0; уравнение Ax + D = 0 и определяет плоскость, параллельные координаты плоскости Oxz ( или совпадающую с ней). Действительно, в этом случае нормальный вектор имеет нулевые проекции на оси Oy и Oz следовательно и , а сама плоскость параллельна им (или проходит через каждую из них). Но это и означает, что плоскость, определяемая уравнением Ax + D = 0 , параллельна плоскости Oyz или совпадает с ней.

• нормальное уравнение плоскости;

Пусть дана какая – нибудь плоскость π. Проведем через (0; 0) прямую n перпендикулярную плоскости π – будем называть эту прямую нормалью, и пометим P точку, в которой она пересекает плоскость π. На нормали введем +-оенаправление от точки 0 к точке P (если точка P совпадет с 0, т.е. если данная плоскость проходит через (0; 0), то + направление нормали выберем произвольно) a, b, - углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат, через Р – длину отрезка ОР. Выведем уравнение плоскости π, считая известными числа cosa, cosb, cos и Р. С этой целью возьмем на плоскости π любую точу М(x, y, z). Проекция на нормаль равна ОР, а так как + направление нормали совпадает с направлением отрезка , то влияние этого отрезка выражается + числом.

Р, т.о. пр_n = Р (1)

=> (следствие: если некоторая ось n составляет с координатными осями углы a, b, , то проекция произвольного вектора на эту ось определяется равенством: пр_n ).

пр_n (2)

Из равенства (1) и (2) следует, что = Р или

(3)

Уравнение плоскости (3) называется нормальным уравнением плоскости; в этом уравнении cosa, cosb, cos направляющие cos нормали, Р – расстояние плоскости от начала координат.

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;

В пространстве R₃ введена прямоугольная система координат (x₁; x₂; x₃).

Даны три точки не лежащие на одной прямой

Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку х, то ее уравнение имеет вид:

(1) , где одновременно неравны 0. Так как она проходит еще через точки и , то должны выполнятся условия:

(2).

Составим однородную линейную систему уравнений относительно неизвестных

(z₁, z₂, z₃): (3).

Здесь есть любая точка, удовлетворяющая уравнению плоскости (1). В силу (1) и (2) системе (3) удовлетворяет нетривиальный вектор поэтому определитель этой системы равен 0.

(4).

Уравнение (4) можно еще написать и в следующем виде:

(5).