Скалярное произведение и его свойства

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом ЮРГУЭС

к внутривузовскому изданию в качестве учебно-методического пособия

для студентов всех форм обучения

ШАХТЫ

Составители:

к.ф.-м.н., доцент кафедры «Математика» ЮРГУЭС

А.Б.Михайлов

к.т.н., доцент кафедры «Математика» ЮРГУЭС

И.Д. Михайлова И.Д.

к.т.н., доцент кафедры «Математика» ЮРГУЭС

Г.Р. Саакян

Рецензенты:

к.ф.-м.н., директор ФГУ ИМЦА

И.М. Мальцев

к.ф.-м.н., доцент кафедры

Аналитическая геометрия. Учеб.-метод. пособие / составители А.Б. Михайлов, И.Д.Михайлова, Г.Р. Саакян, И.П. Ковалева; Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. – Электрон. дан. – Шахты: ЮРГУЭС, 2008. – Режим доступа: http://libdb.ssu.ru/. Доступен также в локальной сети \\libdss.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………….

1. Элементы векторной алгебры………………………………………….

1.1 Векторы…………………………………………………………………

1.2 Скалярное произведение и его свойства …………………………….

1.3 Векторное произведение векторов …………………………………...

1.4Смешанное произведение векторов. …………………………………

2. Прямая на плоскости…………………………………………………….

2.1 Уравнение прямой, проходящей через данную точку Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

перпендикулярно Скалярное произведение и его свойства - student2.ru …………………………………………

2.2 Общее уравнение прямой………………………………………………

2.3 Уравнение прямой в отрезках на осях…………………………………

2.4 Уравнение прямой, проходящей через данную точку Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

параллельно вектору Скалярное произведение и его свойства - student2.ru ………………………………………..

2.5 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Скалярное произведение и его свойства - student2.ru …………………………………………………..

2.6 Параметрические уравнения прямой..................................................

2.7Уравнение прямой с угловым коэффициентом……………………..

2.8 Взаимное расположение двух прямых на плоскости………………

2.9 Угол между прямыми…………………………………………………

2.10 Расстояние от точки до прямой…………………………………….

3. Плоскость в пространстве………………………………………………

3.1 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Скалярное произведение и его свойства - student2.ru перпендикулярно Скалярное произведение и его свойства - student2.ru ……………………………………….

3.2 Общее уравнение плоскости…………………………………………..

3.3 Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки……..

3.4 Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам…

3.5 Уравнение плоскости в отрезках на осях…………………………….

3.6 Расстояние от точки до плоскости……………………………………

3.7 Взаимное расположение двух плоскостей……………………………

4. Прямая в пространстве…………………………………………………..

4.1 Общие уравнения прямой……………………………………………..

4.2 Канонические уравнения прямой……………………………………..

4.3 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки….

5. Кривые второго порядка…………………………………………………

5.1 Эллипс…………………………………………………………………..

5.2 Гипербола………………………………………………………………

5.3 Парабола …………………………………………………………………

6. Задачи для самостоятельного решения…………………………………..

7. Ответы к задачам для самостоятельного решения………………………

Библиографический список…………………………………………………

Введение

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Векторы

Вектор- направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если Скалярное произведение и его свойства - student2.ru начало вектора, а Скалярное произведение и его свойства - student2.ru его конец, то вектор обозначается символом Скалярное произведение и его свойства - student2.ru или Скалярное произведение и его свойства - student2.ru . Длиной или модулем вектора Скалярное произведение и его свойства - student2.ru называется длина отрезка и обозначается Скалярное произведение и его свойства - student2.ru Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается Скалярное произведение и его свойства - student2.ru Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Векторы Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают Скалярное произведение и его свойства - student2.ru êê Скалярное произведение и его свойства - student2.ru . Два вектора Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Скалярное произведение и его свойства - student2.ru Выделим в пространстве единичные векторы (орты), обозначаемые Скалярное произведение и его свойства - student2.ru , имеющие такие же направления как и координатные оси Скалярное произведение и его свойства - student2.ru соответственно. Любой вектор Скалярное произведение и его свойства - student2.ru можно представить в виде линейной комбинации векторов Скалярное произведение и его свойства - student2.ru : Скалярное произведение и его свойства - student2.ru . В этом случае говорят, что вектор Скалярное произведение и его свойства - student2.ru имеет координаты Скалярное произведение и его свойства - student2.ru в базисе Скалярное произведение и его свойства - student2.ru . Если известны координаты точек Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru , то координаты вектора Скалярное произведение и его свойства - student2.ru равны разностям соответствующих координат его конца и начала: Скалярное произведение и его свойства - student2.ru Длину вектора Скалярное произведение и его свойства - student2.ru можно найти по формуле

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru (1.1)

Если векторы Скалярное произведение и его свойства - student2.ru , то Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru при любом действительном Скалярное произведение и его свойства - student2.ru .

Пример1.Найти длину вектора Скалярное произведение и его свойства - student2.ru , если Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Решение. Длину вектора Скалярное произведение и его свойства - student2.ru найдем по формуле (1.1)

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Скалярное произведение и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается Скалярное произведение и его свойства - student2.ru Итак, по определению

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru где Скалярное произведение и его свойства - student2.ru (1.2)

Если хотя бы один из векторов Скалярное произведение и его свойства - student2.ru или Скалярное произведение и его свойства - student2.ru равен Скалярное произведение и его свойства - student2.ru , то скалярное произведение полагается равным 0.

Свойства:

1) Скалярное произведение и его свойства - student2.ru переместительный закон.

2) Скалярное произведение и его свойства - student2.ru сочетательное свойство относительно скалярного множителя Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

3) Скалярное произведение и его свойства - student2.ru распределительный закон.

4) Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

5) Для того чтобы ненулевые векторы Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

6) Если векторы Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru заданы координатами: Скалярное произведение и его свойства - student2.ru Скалярное произведение и его свойства - student2.ru то

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru (1.3)

Из формулы (1.2) найдем Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru (1.4)

Пример 2.Найти скалярное произведение векторов Скалярное произведение и его свойства - student2.ru если Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Решение. Воспользовавшись свойствами скалярного произведения 1-4 и формулой (1.2), получим

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Пример 3.Найти скалярное произведение векторов Скалярное произведение и его свойства - student2.ru если

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Решение. Найдем координаты векторов Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru . Вычислим

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru тогда Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru тогда Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru Воспользовавшись формулой (1.3), получим

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Пример 4.Найти косинус угла между векторами Скалярное произведение и его свойства - student2.ru Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru если

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Решение. Найдем координаты векторов Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru :

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Применяя формулу (1.4), получим

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru = Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Пример 5.Перпендикулярны ли векторы Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru

Решение. Вычислим скалярное произведение ненулевых векторов Скалярное произведение и его свойства - student2.ru .

Скалярное произведение и его свойства - student2.ru следовательно, векторы Скалярное произведение и его свойства - student2.ru и Скалярное произведение и его свойства - student2.ru перпендикулярны (в силу свойства 5).

Наши рекомендации