Цю умову називають умовою найкращого середньоквадратичного наближення.

Постановка задачi

Однiєю з важливих задач в iнженернiй практицi є задача вiдшукання закономiрностей в явищах природи i процесах. Засобом для цього є накопичення експериментальних даних i за їх допомогою одержання деяких вiдомостей про закони, яким пiдпорядковуються цi явища або процеси.

В загальному задачу можна сформулювати так. Вiдомо, що мiж i iснує функцiональна залежнiсть i в результатi дослiдiв одержана таблиця значень

яку можна розглядати як таблично задану функцiю.

Треба за цими даними побудувати аналiтичну функцiю, яка хоча б наближено представляла зв'язок мiж i . Цю аналiтичну функцiю називають емпiричною функцiєю або емпiричною формулою.

Задача побудови емпiричної формули вiдмiнна вiд задачi iнтерполювання. Як правило, вихiднi данi дуже обширнi, значення i наближенi. Тому iнтерполяцiйна формула, яка повторює похибки вихiдних даних, не говорячи про її складнiсть, не є iдеальним розв'язком поставленої задачi. Можливо проста емпiрична формула, яка згладжує похибки вихiдних даних, краще вiдобразить дiйснiсть.

Побудова емпiричної формули здiйснюється у два етапи:

1) вияснення загального виду формули;

2) знаходження найкращих її параметрiв за певним критерiєм.

Вдалий вибiр емпiричної формули значною мiрою залежить вiд досвiду дослiдника. Велике значення має геометричне зображення експериментальних даних в декартових або спецiальних координатах. Iнколи бувають вiдомi досить загальнi властивостi залежностi мiж величинами. Наприклад, величини приблизно пропорцiональнi, величини приблизно обернено пропорцiональнi, одна з величин є перiодичною функцiєю другої з приблизно вiдомим перiодом i т.п. Це дозволяє вибрати ту чи iншу формулу емпiричної залежностi.

Яким би не був вигляд емпiричної формули, вона завжди має кiлька параметрiв, якi треба пiдiбрати так, щоб емпiрична формула найкращим чином узгоджувалась з експериментальними даними.

Частiше всього вибираються лiнiйнi вiдносно параметрiв емпiричнi формули або такi, якi простими пiдстановками зводяться до лiнiйних вiдносно параметрiв. В багатьох випадках обмежуються алгебраїчними або тригонометричними полiномами.

Найбiльш поширеним методом знаходження параметрiв емпiричної формули є метод найменших квадратiв.

Метод найменших квадратiв

Припустимо, що з деяких мiркувань ми вибрали вид емпiричної формули:

(1)

Параметри пiдлягають визначенню, причому цi параметри повиннi бути пiдiбранi таким чином, щоб емпiрична функцiя (1) найкраще наближала експериментальну залежнiсть.

Назвемо вiдхиленням рiзницю мiж значенням функцiї (1) у точцi i експериментальним значенням у цiй же точцi :

Згiдно з методом найменших квадратiв найкращими значеннями параметрiв вважаються тi, для яких сума квадратiв вiдхилень у всiх експериментальних точках буде мiнiмальною, тобто

Цю умову називають умовою найкращого середньоквадратичного наближення.

Щоб знайти значення параметрiв , скористаємося необхiдними умовами мiнiмума функцiї багатьох змiнних. Вони полягають у рiвностi нулю частинних похiдних першого порядку по параметрах i дають систему, яка називається нормальною системою:

Якщо ця система має єдиний розв'язок, то вiн i дає шуканi значення параметрiв .

Розглянемо деякi окремi типи емпiричних формул, якi використовуються найчастiше.