Свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема 1

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство

Пусть - бесконечно малые последовательности.

Докажем, что - бесконечно малая последовательность

Пусть - произвольное число.

- номер, начиная с которого

- номер, начиная с которого

Так как , то, обозначая , получаем, что, начиная с некоторого номера N выполняется неравенство . Это означает, что последовательность - бесконечно малая.

Теорема 2

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Доказательство аналогичное, только, вместо берем

Следствие Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3

Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство

Пусть - бесконечно малая последовательность. Пусть - произвольное число. Пусть N – номер, начиная с которого . Обозначим через . Очевидно, что для , что означает ограниченность последовательности.

Теорема 4

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство

Пусть - бесконечно малая последовательность;

Пусть - ограниченная последовательность.

Так как - ограниченная последовательность, то , что . Возьмем - произвольное число. Так как - бесконечно малая последовательность, то для положительного числа можно указать N такой, что при выполняется неравенство . Тогда при . Поэтому последовательность - бесконечно малая.

Следствие

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Замечание

Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла.

Например

бесконечно большая последовательность

бесконечно малая последовательность

Если бесконечно много элементов последовательности равны 0, то последовательность не имеет смысла.

Теорема 5

Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0.

Доказательство

Пусть , положим . Начиная с номера N, соответствующему этому выполняется неравенство . Так как , а , то - противоречие.

Теорема 6

Если - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n определена последовательность , которая является бесконечно малой последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны 0, то последовательность - бесконечно большая.

Доказательство

Отметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно 0. Из определения бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного A>0, существует N, начиная с которого . Это означает, что при все элементы , тогда последовательность имеет смысл, если ее элементы рассматривать, начиная с номера . Докажем теперь, что бесконечно малая последовательность. Пусть - произвольное число. Для числа , такой, что при выполняется неравенство . Поэтому, начиная с указанного номера N. Будет выполняться неравенство , то есть доказано, что последовательность - бесконечно малая.

Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.