Сложение и вычитание вместо умножения

Математические игры и развлечения

Избранное

Редактор Копылова А.Н.

Техн. раедактор Мурашова Н.Я.

Корректор Сечейко Л.О.

Сдано в набор 26.09.2003. Подписано к печати 14.12.2003. Формат 84х 108 ¼.Физ.печ.л. 8,375. Условн.печ.л. 13,74. Уч.-изд.л. 12,82. Тираж 200000 экз. Заказ №979. Цена книги 50 руб.

Доморяд А.П.

Математические игры и развлечения: Избранное.- Волгоград:ВГПУ,2003.-20 с.

В книге представлены избранные задачи из монографии Доморяда А.П. «Математические игры и развлечения»,которая была издана в 1961 году государственным издательством физико-математической литературы г. Москвой.

ISBN5-09-001292-Х ББК22.1я2я72

© Издательство «ВГПУ»,2003

Оглавление

Предисловие. 3

Определение задуманного числа по трем таблицам.. 4

Солитер. 5

Сложение и вычитание вместо умножения. 6

Функция [x] (целая часть x). 7

Приложение. 8

Фигуры из кусочков квадрата. 9

Магические квадраты.. 10

Издательство школьник. 11

Предисловие

Из разнообразного материала, объединяемого различными авторами под общим названием математических игр и развлечений, можно выделить несколько групп "классических развлечений", издавна привлекавших внимание математиков:

1. Развлечения, связанные с поисками оригинальных решений задач, допускающих практически неисчерпаемое множество решений; обычно интересуются установлением числа решений, разработкой методов, дающих большие группы решений или решения, удовлетворяющие каким-нибудь специальным требованиям.

2. Математические игры, т.е. игры, в которых двое играющих рядом "ходов", делаемых поочередно в соответствии с указанными правилами, стремятся к определенной цели, причем оказывается возможным для любого исходного положения предопределить победителя и указать, как - при любых ходах противника - он может добиться победы.

3. "Игры одного лица", т.е. развлечения, в которых с помощью ряда операций, выполняемых одним игроком в соответствии с данными правилами, надо достигнуть определенной, заранее указанной цели; здесь интересуются условиями, при которых цель может быть достигнута, и ищут наименьшее число ходов, необходимых для ее достижения.

Классическим играм и развлечениям посвящена большая часть этой книги.

Каждый может попытаться, проявив настойчивость и изобретательность, получить интересные (свои!) результаты.

Если такие классические развлечения, как, например, составление "магических квадратов" могут оказаться по душе сравнительно узкому кругу лиц, то составление, например, симметричных фигур из деталей разрезанного квадрата, поиски числовых курьезов и т.п., не требуя никакой математической подготовки, могут доставить удовольствие и любителям, и "не любителям" математики. То же можно сказать и о развлечениях, требующих подготовки в объеме 9-11 классов средней школы.

Многие развлечения и даже отдельные задачи могут подсказать любителям математики темы для самостоятельного исследования.

В целом книга рассчитана на читателей с математической подготовкой в объеме 10-11 классов, хотя большая часть материала доступна девятиклассникам, а некоторые вопросы - даже учащимся 5-8классов.

Многие параграфы могут быть использованы преподавателями математики для организации внеклассной работы.

1. Разные категории читателей могут по-разному использовать эту книгу: лица, не увлекающиеся математикой, могут познакомиться с любопытными свойствами чисел, фигур и т.п., не вникая в обоснование игр и развлечений, принимая на веру отдельные утверждения; любителям математики советуем изучать отдельные места книги с карандашом и бумагой, решая предлагаемые задачи и отвечая на отдельные вопросы, предложенные для размышления.

Определение задуманного числа по трем таблицам

Разместив в каждой из трех таблиц подряд числа от 1 до 60 так, чтобы в первой таблице они стояли в трех столбцах по двадцати чисел в каждом, во второй – в четырех столбцах по 15 чисел в каждом и в третьей – пяти столбцах по 12 чисел в каждом (см. рис. 1), легко быстро определить задуманное кем-нибудь число N (N≤60), если будет указаны номера α, β, γ столбцов, содержащих задуманное число в 1-й, 2-й и 3-й таблицах: N будет ровно остатку от деления числа 40α+45β+36γ на 60 или, другими словами, N будет ровно меньшему положительному числу, сравнимому с суммой (40α+45β+36γ) по модулю 60. Например, при α=3, β=2, γ=1:

40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60),т.е. N=6.

I	II	III	IV	V
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.

I	II	III
.	.	.
.	.	.
.	.	.

I	II	III	IV
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.

Рис.1

Аналогичный вопрос может быть решен для чисел в пределах до 420, размещенных в четырех таблицах с тремя, четырьмя, пятью и семью столбцами: если - номера столбцов, в которых задуманное число, то оно равно остатку от деления числа 280α+105β+336γ+120δ на 420.

Солитер

Игра под названием солитер проводится на доске с тридцатью тремя клетками. Такую доску легко получить, прикрыв шахматную доску листом картона с крестообразным вырезом.

На рисунке каждая клетка обозначена парой чисел, указывающих номера горизонтального и вертикального рядов, на пересечении которых находится клетка. В начале игры все клетки, за исключением какой-нибудь одной, заняты шаш­ками.

Требуется снять 31 шашку, причем задаются пустая «начальная» клетка (а,b) и «конечная» (с,d), на которой должна оказаться уцелевшая в конце игры шашка. Правила игры та­ковы: любая шашка может быть снята с доски, если рядом с ней (в горизонтальном или вертикальном направлении) находится с одной стороны какая-нибудь шашка («снимающая»), а с противоположной стороны – пустая клетка, на которую «снимающая» шашка должна быть при этом переведена.

Из теории игры следует, что решение будет в том и только в том случае, когда a≡ c(mod3) и b≡ d(mod3).

Приведем для примера решение задачи, в которой клетка (44) является и начальной, и конечной.

1. 64-44 2. 56-54 3. 44-64 4. 52-54 5. 73-53	6. 75-73 7. 43-63 8. 73-53 9. 54-52 10. 35-55	11. 65-45 12. 15-35 13. 45-25 14. 37-35 15. 57-37	16. 34-36 17. 37-35 18. 25-45 19. 46-44 20. 23-43
	21. 31-33 22. 43-23 23. 51-31 24. 52-32 25. 31-33 26. 14-34	27. 34-32 28. 13-33 29. 32-34 30. 34-54 31. 64-44

Здесь в записи каждого хода указаны для «снимающей» шашки номер исходной клетки и номер клетки, на которую она ставится (при этом с доски снимается шашка, стоящая на промежуточной клетке).

Попробуйте снять 31 шашку:

a) при начальной клетке (5,7) и конечной (2,4);

b) при начальной клетке (5,5) и конечной (5,2).

Сложение и вычитание вместо умножения

До изобретения таблиц логарифмов для облегчения умножения многозначных чисел применялись так называемые простаферетические таблицы (от греческих слов «простезис» - прибавление и «афайрезис» - отнятие), представляющие собой таблицы значений функции при натуральных значениях z. Так как при a и b целых (числа a+b и a –b либо оба четные, либо оба нечетные; в последнем случае дробные части у и одинаковы), то умножение aна b сводится к определению a+b и a – b и, наконец, разности чисел и , взятых из таблицы.

Для перемножения трех чисел можно воспользоваться тождеством:

abc= (*) из которого следует, что при наличии таблицы значений функции вычисление произведения abc можно свести к определению чисел: a+b+c, a+b–c, a+c–b, b+c–a и по ним – при помощи таблицы – правой части равенства (*).

Приведем в качестве примера такую таблицу для 1 ≤ z<30. В таблице даны: крупными цифрами – значения а мелкими – значения k, где при 0 ≤ k ≤ 23 = +

		Единицы
Десят-ки

Нетрудно, пользуясь формулой (*) и таблицей, получить:

9·9·9=820₃-30₉-30₉-30₉=729,

17·8·4=1016₅-385₂₁-91₁₃+5₅=544 (проверьте!).

Функция [x] (целая часть x)

-3 -2 -1

x

y

-1

-2

Рис. 2

1 2 3 4

Функция [x] равна наибольшему целому числу, превосходящемуx (x – любое действительное число). Например:

Функция [x] имеет «точки разрыва»: при целых значениях x она «изменяется скачком».

На рис.2 дан график этой функции, причем левый конец каждого из горизонтальных отрезков принадлежит графику (жирные точки), а правый – не принадлежит.

Попробуйте доказать, что если каноническое разложение числа n! есть , то

Аналогичные формулы имеют место для

Зная это, легко определить, например, сколькими нулями оканчивается число 100! Действительно, пусть . Тогда

и .

Следовательно, 100! Делится на , т.е. оканчивается двадцатью четырьмя нулями.