Править]Оценка точности вычисления определённого интеграла

Метод трапеций

Основная статья: Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru где править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru :

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru где править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru

Погрешность формулы трапеций:

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru где править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru

Метод Симпсона.

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степениP(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = xi+1 – xi), то есть три узла x0, x1, x2, через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru .


Пусть z = x - x0,
тогда

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru


Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru .

В итоге

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru

.
Для равномерной сетки и четного числа шагов n формула Симпсона принимает вид:

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru

Здесь править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru , а править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru в предположении непрерывности четвертой производной подынтегральной функции.

[править]Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Применение правила Рунге

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru , для формул прямоугольников и трапеций править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru , а для формулы Симпсона править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru .
Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru , где n0 — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru , где ε — заданная точность.

Особенности поведения погрешности.

Казалось бы, зачем анализировать разные методы интегрирования, если мы можем достичь высокой точности, просто уменьшая величину шага интегрирования. Однако рассмотрим график поведения апостериорной погрешности Rрезультатов численного расчета в зависимост править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru и от числа n разбиений интервала (то есть при править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru шаг править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru . На участке (1) погрешность уменьшается в связи с уменьшением шага h. Но на участке (2) начинает доминировать вычислительная погрешность, накапливающаяся в результате многочисленных арифметических действий. Таким образом, для каждого метода существует своя Rmin, которая зависит от многих факторов, но прежде всего от априорного значения погрешности метода R.

Уточняющая формула Ромберга.

Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h.
Обозначим интеграл с числом разбиений n = 1 как править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru .
Уменьшив шаг в два раза, получим править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru .
Если последовательно уменьшать шаг в 2n раз, получим рекуррентное соотношение для расчета править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru .

Пусть мы вычислили четыре раза интеграл с n от 1 до 4. Представим следующий треугольник:
R(1;1)
R(2;1) R(2;2)
R(3;1) R(3;2) R(3;3)
R(4;1) R(4;2) R(4;3) R(4;4)

В первом столбце стоят значения интеграла, полученные при последовательном удвоении числа интервалов. Следующие столбцы – результаты уточнения значения интеграла по следующей рекуррентной формуле:

править]Оценка точности вычисления определённого интеграла - student2.ru .

Правое нижнее значение в треугольнике – искомое уточненное значение интеграла.

Наши рекомендации