Правила вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона–Лейбница:

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

где F′(x) = f(x).

2. Замена переменной:

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

где x = Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru – функция, непрерывная вместе с Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru на отрезке Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru – функция, непрерывная на отрезке Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru .

3. Интегрирование по частям: Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a, b] функции.

4. Если f(x) – нечетная функция, то Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

5. Если f(x) – четная функция, то Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Примеры.

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.58. Вычислить интегралы:

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 3) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ; 4) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

5) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ; 6) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 7) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ; 8) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

9) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 10) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 11) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ; 12) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

13) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 14) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 15) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 16) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

17) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 18) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 19) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Геометрические приложения

определенного интеграла

Пример 2.6.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = у2.

Решение.

Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3).

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Y
X
у = х2
у = √х
 

Рис. 2.3. Площадь фигуры

2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

5) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ; 6) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

7) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 8) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

9) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 10) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 4) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.61. Найти длину дуги кривой:

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru от х = 0 до х = 1; 2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru от х = 0 до х = 1;

3) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru от точки О(0; 0) до точки А(4; 8).

Указание. Длина дуги кривой Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru при Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru равна

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Применение определенного интеграла

В экономике

Дисконтированный доход при непрерывном начислении процентов равен

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

где Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru – функция ежегодного дохода;

i – удельная норма процента;

T – время начисления дохода.

2.62. Определить дисконтированный доход за T лет при процентной ставке I %, если первоначальное капиталовложение составило 1 млрд руб. и будет увеличиваться ежегодно на 0,2 млрд руб.:

1) T = 5, i = 10; 2) T = 10, i = 2.

Среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru до Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru изделий равно

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ,

где функция t = t(x) часто имеет вид Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

где а – затраты времени на первое изделие;

b – показатель производительности процесса.

2.63. Найти среднее время, затраченное на изготовление одного изделия, если:

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Несобственные интегралы

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru .

Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Примеры.

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

интеграл сходится.

2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru – не существует, интеграл расходится.

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

интеграл сходится.

2.64. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ; 3) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ; 4) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 5) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ;

6) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ; 7) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 8) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 9) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 10) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.65. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 3) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

4) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 5) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 6) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Функции нескольких переменных

Определение. Областью определения функции Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru называется множество точек Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru плоскости Оху, в которых функция определена.

Линия уровня функции Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru задается уравнением z = C или Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru .

Пример 2.7.

Найти область определения функции:

1. Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 2. Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Решение.

1. Область определения задается условием: 9 – x2 – y2> 0 или x2 + y2< 9, т. е. представляет собой незамкнутый круг с центром в начале координат радиуса 3.

2. Имеем: x – y ≥ 0 или y ≤ x, т. е. область определения – это полуплоскость, лежащая ниже прямой y = x,и сама прямая.

2.66. Построить область определения функции:

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.67. Найти линии уровня функций:

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Частные производные, дифференциал,

Градиент функции

Определение. Частные производные функции z = z(x, y):

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

если пределы существуют.

Определение. Дифференциалом функции z = z(x, y) называется выражение

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Определение. Градиентом функции z = z(x, y) называется вектор

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Пример 2.8.

Найти частные производные Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru и Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru (или Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru и Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru ) функции

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Решение.

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.68. Найти Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru и Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru :

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

3) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 4) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

5) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 6) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

7) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 8) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

9) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 10) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru если Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru если Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

3) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru 4) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru

2.71. Найти модуль градиента функции:

1) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru в точке А(1; –2; 0);

2) Правила вычисления определенного интеграла - student2.ru в точке А(0; 1; –2).

Наши рекомендации