Правила вычисления определенного интеграла
1. Формула Ньютона–Лейбница:
где F′(x) = f(x).
2. Замена переменной:
где x = – функция, непрерывная вместе с на отрезке – функция, непрерывная на отрезке .
3. Интегрирование по частям:
где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a, b] функции.
4. Если f(x) – нечетная функция, то
5. Если f(x) – четная функция, то
Примеры.
1)
2.58. Вычислить интегралы:
1) 2) 3) ; 4)
5) ; 6) 7) ; 8)
9) 10) 11) ; 12)
13) 14) 15) 16)
17) 18) 19)
Геометрические приложения
определенного интеграла
Пример 2.6.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = у2.
Решение.
Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3).
Y |
X |
у = х2 |
у = √х |
Рис. 2.3. Площадь фигуры
2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
1) 2)
5) ; 6)
7) 8)
9) 10)
2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:
2)
4)
Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:
2.61. Найти длину дуги кривой:
1) от х = 0 до х = 1; 2) от х = 0 до х = 1;
3) от точки О(0; 0) до точки А(4; 8).
Указание. Длина дуги кривой при равна
Применение определенного интеграла
В экономике
Дисконтированный доход при непрерывном начислении процентов равен
где – функция ежегодного дохода;
i – удельная норма процента;
T – время начисления дохода.
2.62. Определить дисконтированный доход за T лет при процентной ставке I %, если первоначальное капиталовложение составило 1 млрд руб. и будет увеличиваться ежегодно на 0,2 млрд руб.:
1) T = 5, i = 10; 2) T = 10, i = 2.
Среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от до изделий равно
,
где функция t = t(x) часто имеет вид
где а – затраты времени на первое изделие;
b – показатель производительности процесса.
2.63. Найти среднее время, затраченное на изготовление одного изделия, если:
1)
2)
Несобственные интегралы
.
Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.
Примеры.
интеграл сходится.
2) – не существует, интеграл расходится.
интеграл сходится.
2.64. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1) 2) ; 3) ; 4) 5) ;
6) ; 7) 8) 9) 10)
2.65. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
Функции нескольких переменных
Определение. Областью определения функции называется множество точек плоскости Оху, в которых функция определена.
Линия уровня функции задается уравнением z = C или .
Пример 2.7.
Найти область определения функции:
1. 2.
Решение.
1. Область определения задается условием: 9 – x2 – y2> 0 или x2 + y2< 9, т. е. представляет собой незамкнутый круг с центром в начале координат радиуса 3.
2. Имеем: x – y ≥ 0 или y ≤ x, т. е. область определения – это полуплоскость, лежащая ниже прямой y = x,и сама прямая.
2.66. Построить область определения функции:
2.67. Найти линии уровня функций:
Частные производные, дифференциал,
Градиент функции
Определение. Частные производные функции z = z(x, y):
если пределы существуют.
Определение. Дифференциалом функции z = z(x, y) называется выражение
Определение. Градиентом функции z = z(x, y) называется вектор
Пример 2.8.
Найти частные производные и (или и ) функции
Решение.
2.68. Найти и :
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):
1) если
2) если
2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:
1) 2)
3) 4)
2.71. Найти модуль градиента функции:
1) в точке А(1; –2; 0);
2) в точке А(0; 1; –2).