Интегрирование сложных тригонометрических функций

На уроке Интегралы от тригонометрических функциймы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. В том примере для нахождения интеграла мы применяли тригонометрическую формулу

.

Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!

Пример 15

Найти неопределенный интеграл

.

Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:

(1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.

(2) Для одного из множителей используем формулу

(3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.

(4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала, во втором интеграле еще раз используем формулу

, в данном случае .

(5) Берём все три интеграла и получаем ответ.

Пример 16

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Для котангенса существует аналогичная формула:

. Полное решение и ответ в конце урока.

Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций. На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Рассмотрим еще один канонический пример - интеграл от единицы, деленной на синус:

Пример 17

Найти неопределенный интеграл

.

Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Приведём это решение с комментариями к каждому шагу:

(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла

.

(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на

.

(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.

(4) Подводим функцию под знак дифференциала.

(5) Берём интеграл.

Пример 18

Найти неопределенный интеграл

.

Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения

и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.

Пример 19

Найти неопределенный интеграл

.

Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.

Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:

и т.п.

В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса

.

То есть, речь идет о замене:

.

В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.

Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.

Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены: