Аналитическое выравнивание временного ряда

При аналитическом выравнивании временного ряда теоретические (расчетные) значения ряда определяют исходя из предположения об их зависимости от времени, т.е. y = f(t). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывается только с течением времени. Аналитическое выравнивание временного ряда состоит из следующих основных этапов:

1) выбор вида функциональной зависимости (формы тренда), выражающей сущность изучаемого процесса;

2) расчет неизвестных параметров уравнения тренда;

3) расчет выравненных значений уровней ряда на основе уравнения тренда.

Тренд – это основная тенденция развития явления во времени, некоторое общее направление развития. Для аналитического выравнивания могут использоваться разнообразные формы трендов, например:

- полином первой степени (линейная функция, прямая): у = a + bt;

- полином второй степени (парабола): у = a + bt + ct²;

- полином третьей степени (кубическая парабола): у = a + bt + ct²+ dt³;

- степенная функция: у = t^a и др.

Для определения наилучшей формы тренда могут быть использованы различные подходы, например:

1) визуальный, на основе графического изображения временного ряда. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда, например, сглаживание. Потом подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда.

2) критериальный, временной ряд выравнивают с помощью нескольких видов трендов. Полученные результаты сравнивают между собой. В качестве лучшей формы тренда может выступать та, для которой достигается оптимальное значение некоторого критерия, например, минимум среднего квадратического отклонения.

После выбора формы тренда осуществляется оценка параметров уравнения на основе метода наименьших квадратов (МНК).

Стремление провести кривую, к которой бы в целом наиболее тесно примыкали отдельные точки – фактические данные, трансформируется в МНК в критерий, согласно которому параметры функции должны быть подобраны так, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от тренда была минимальной, т.е.:

,

где y_i – фактические уровни ряда;

– выравненные уровни ряда (точки на тренде).

Например, для уравнения прямой:

.

Необходимым условием существования точки минимума функции нескольких переменных является равенство частных производных нулю, т.е.

.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров МНК уравнения прямой имеет следующий вид:

Решая данную систему уравнений получаем параметры функции a и b, т.е. искомое уравнение прямой. Расчет параметров уравнения можно упростить, если ввести условное обозначение времени таким образом, чтобы . Для этого в случае нечетного числа уровней ряда динамики время обозначается следующим образом:

t = … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;…

При этом параметры будут находиться по следующим формулам:

; .

Пример аналитического выравнивания временного ряда представлен на рис. 9.3.

Рис. 9.3. Выравнивание временного ряда по уравнению прямой

Анализ сезонности

Одна из задач анализа временных рядов состоит в выявлении сезонности. К сезонным относят все явления, которые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т. е. устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней.

Кзадачам исследования сезонности относят следующие:

1) определение наличия сезонных колебаний;

2) выявление их силы и характера в различных фазах годичного цикла;

3) характеристика факторов, вызывающих сезонные колебания;

4) математическое моделирование сезонности;

5) оценка и учет экономических последствий, к которым приводит наличие сезонных колебаний.

Наиболее распространенным методом изучения сезонности является расчет индексов сезонности.

Индексы сезонности являются показателями, характеризующими результаты сравнения фактических уровней данного месяца или квартала с расчетными уровнями, которые могут быть определены различными способами.

Индивидуальные индексы сезонности характеризуют сезонность в границах конкретного года. Общие (средние) индексы сезонности характеризуют устойчивую тенденцию сезонности для нескольких лет. Т. е. общие индексы сезонности – это среднее из индивидуальных индексов сезонности для каждого месяца или квартала за n лет.

; ,

где – индивидуальный индекс сезонности i-го месяца или квартала в t-м году;

I_сезi – общий индекс сезонности i-го месяца или квартала;

i – номер месяца или квартала;

i = 1–12 (если i – номер месяца) или i = 1–4 (если i – номер квартала);

y_i – фактические уровни ряда;

– выравненные уровни ряда;

n – количество лет.

Рекомендуется брать период наблюдения не менее трех лет

Существуют различные способы нахождения выравненных значений временного ряда ( ) при анализе сезонности. К наиболее распространенным относят определение средней (среднего уровня ряда), выравнивание на основе скользящей средней, выделение тренда.

При анализе сезонных колебаний на основе средней следует соблюдать следующий порядок расчетов:

1) Рассчитываются среднемесячные или среднеквартальные значения уровней временного ряда в каждом году:

,

где L – длина сезонного цикла: L = 12 для месяцев года, L = 4 для кварталов года.

2) За каждый год вычисляются отношения месячных уровней к среднемесячному (или квартальных к среднеквартальному), т.е. находятся индивидуальные индексы сезонности:

.

3) Для получения типичной картины сезонных колебаний эти отношения для каждого месяца (квартала) усредняются за ряд лет, т.е. находятся общие индексы сезонности:

.

Нанесение индексов сезонности на график позволяет получить изображение сезонной волны.