Тема 4.2. Моделирование в процессе решения текстовых задач

План лекции:

1. Понятие модели

2. Виды абстрактных моделей

3. Алгоритм решения задач методом математического моделирования

4. Роль компьютерной графики

1. Мы неоднократно использовали термины «модель», «моделирование». Это не случайно. Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом из изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому более простую, чем эта реальность.

Математическая модель – это описание какого-либо процесса на языке математических понятий, формул, отношений.

Текстовая задача – это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить математическую модель.

Математической моделью текстовой задачи является выражение (или запись по действиям), если задача решается арифметическим спсособом и уравнение (или система уравнений), если задача решатся алгебраическим методом.

В процессе решения задач четко выделяются три этапа математического моделирования:

I этап – это перевод условий задачи на математический язык. При этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними.

II этап – внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выражения, решение уравнения, выполнение действий).

III этап – интерпретация, т.е. перевод полученного результата на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Например, решаем алгебраическим способом задачу.

«В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?

Решение:

Пусть х – первоначальное число пассажиров во 2 вагоне,

Тогда 2х - первоначальное число пассажиров в 1 вагоне;

2х-3 – осталось пассажиров в 1 вагоне;

х+7 – осталось пассажиров во 2 вагоне, так как пассажиров тало поровну, то получаем уравнение 2х-3=х+7 – это математическая модель данной задачи.

Следующий этап – решение уравнения, получаем х=10.

III этап – используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во 2 вагоне было 10 человек, а в 1 вагоне 20 человек.

Самый сложный 1 этап, чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели, схемы, таблицы и т.д.

Психологи считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определенной последовательности перехода от одного уровня моделирования к другому, процесс решения задачи есть процесс ее переформулирования. При этом основная форма мышления есть анализ и синтез. Моделирование – главное средство переформулирования.

Прием моделирования заключается в том, что для исследования текстовой задачи выбирают другой объект и изучают его.

Виды моделей.

1. Схематизированные:

а) вещественные – обеспечивают физическое действие с предметами (пуговицы, спички …)

б) графические – используются для обобщенного воссоздания ситуации.

Виды: рисунки, условные рисунки, чертежи, схематичные чертежи.

2. Знаковые – выражения, уравнения, системы уравнений, запись решения по действиям.

Рассмотреть задачи на с. 130 №2(а, б, в).

Дома решить на с. 134 №7 (а, б)

Решение задач на части.

Рассматриваемые величины в таких задачах состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других надо выделить, приняв подходящую величину за 1 и определив из каких частей состоят другие величины. Используются модели с помощью отрезков или прямоугольников.

Задача на с.135, с 137 (7), с.138 (2, 4 (а))..

Задачи на движение.

Этот тип задач объединяет такие задачи, которые решаются на основании зависимости S, V и t. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.

1) на встречное движение (с.141)

2) на движение в одном направлении: движение начинается в одном пункте или в разных пунктах. (с.143 №3 и №4)

3) на движение в противоположном направлении: одновременно или в разное время (с.146 № 6, 7).

Задачи, связанные с различными процессами (работа, наполнение бассейнов и т.д.)С.148 №9, с.150 №5

1.Определение: Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.

В моделировании есть два пути:

1. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Например: игрушечный домик, кораблик, самолетик и множество других натуральных моделей.

2. Модель может отображать реальность более абстрактно-словесным описанием в свободной форме, описанием формализованным по каким-то правилам, математическим соотношениям и т.д.

Виды абстрактных моделей:

1). Вербальные (текстовые) модели.

Эти модели используют последовательности предложений для описания той или иной области действительности. Например, правила дорожного движения или милицейский протокол.

2). Математические модели.

Они выражают существенные черты объекта или процесса языком уравнений или других математических средств. Математические модели традиционны для теоретической физики, химии, биологии и т.д.

В реализации математического моделирования часто используют компьютер. Компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически для обработки информации. Это стало неотъемлемой частью работы физика, инженера и т.д.

3 Алгоритм решения задач методом математического моделирования

См. схему на с.150.

Математическому моделированию подлежат объекты и процессы реального мира.

I этап – определение целей моделирования.

Основные цели:

1. Модель нужна для того, чтобы узнать (понять), как устроен конкретный объект или как проистекает процесс; какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром – понимание. (такиемодели называются дескриптивными)

2. модель нужна, чтобы управлять объектом или процессом и определять наилучшие способы управления – управление (такиемодели называются оптимизационными)

3.

4. модель нужна, чтобы прогнозировать последствия - прогнозирование (такиемодели называются прогностическими)

Например, какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был вполне безопасным и экономически более выгодным? Или как составить график выполнения сотен видов работ на строительство большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок?

Кроме дескриптивных, оптимизационных и прогностических моделей выделяют: игровые и имитационные.

Пример игровой модели: полководец перед сражением должен разработать план: в каком порядке вводить войска и т.д.

Пример имитационной модели – изучение изменения численности микроорганизмов в колонии, когда рассматривается много отдельных объектов и отслеживается каждый при наличии определенных условий для его выживания, размножения и т.д.

IV этап – поиск математического описания.

Модель предстает в этот момент в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств и т.д.

V этап – исследование

Когда модель выбрана, выбирают метод ее исследования.

В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов

Особую роль при компьютерном математическом моделировании играет графика. Ее цель – сделать невидимое и абстрактное «видимым» (видимость весьма условна). Можно ли увидеть распределение металлических руд под землей без раскопок? Строение поверхности чужой планеты по результатам радиолокации?

Да, можно, с помощью графики и ее математической обработки. А также квантовая химия дает нам возможность «увидеть» строение молекулы.

Литература

1. Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: учеб.пособие для студентов средн. пед. учеб. заведений – 3 –е изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 1998.

2. Стойлова, Л.П., Пышкало, А.М. Основы начального курса математики [Текст]: Учебное пособие для учащихся педучилищ по специальности №2001 «Преподавание в начальных классах общеобразовательных школ». – М.: Просвещение, 1988.

3. Виленкин, Н.Я., Пышкало, А.М., Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: учеб. пособие для студентов пединститутов по специальности №2121 «Педагогика и методика начального обучения». – М.: Просвещение. 1977.

Задачи на проценты

1. Хозяйка в первую неделю израсходовала 40% купленной муки, во вторую неделю - 40% остатка, а в третью — всю оставшуюся муку. Сколько всего муки израсходовала хозяйка, если в первую неделю она израсходовала на 0,2 кг муки больше, чем в третью?

2. Турист прошел весь маршрут за 3 дня. В первый день он прошел 37,5% всего пути, во второй день - 40% остатка, после чего ему осталось пройти на 6,5 км больше, чем он прошел во второй день. Какова длина всего маршрута?

3. Расстояние между двумя городами автомобиль проехал за 3 часа. В первый час он проехал 37,5 % всего пути, во второй - 60% остатка, а в третий на - на 20 км меньше, чем в первый. Найдите расстояние между городами.

4. Из урожая зерновых колхоз продал государству 10%, 40% остатка засыпал на семена, 80% нового остатка выдали колхозникам, а оставшиеся 1080 ц составили фуражный фонд. Сколько зерна колхоз продал государству, оставил на семена и выдал колхозникам?

5. Овощная база в первый день отпустила 40% всего картофеля, во второй -60% остатка, в третий - 85% нового остатка, а в четвертый - остальное количество - 180 ц. Сколько картофеля отпускала база ежедневно?

6. На нефтебазу привезли 30 цистерн нефти по 16,5 в каждой. В первый день отпустили 40% привезенной нефти, во второй - 80% того количества, которое отпустили в первый день, а остальную нефть - в третий день. Сколько нефти отпустили в третий день?

7. На хлебозавод привезли 20 автомашин муки по 3,5 т на каждой машине. В первый день израсходовали 35% муки, во второй - 60% остатка, а в третий - остальную муку. Сколько муки израсходовали за третий день?

8.Поезд, скорость которого 48,6 км\ч, прошел за 3 часа расстояние, составляющее 9% всего пути. Расстояние пройденное в первый день, составляло 40% пути, во второй -60% остатка, а остальной путь - расстояние между городами А и В. Определите расстояние между этими городами.

9. Самолет, скорость которого 840 км\ч, пролетел за 3 часа расстояние, составляющее 25% всего маршрута. Расстояние от взлета до первого приземления составляло 0,35 всего маршрута. Расстояние между первым и вторыми приземлением составляло 60 % остатка, а расстояние между вторым и третьим - остальной путь. Определите расстояние между вторым приземлением и конечным пунктом маршрута.

10. На топливный склад прибыло 25 вагонов угля по 60 тонн в каждом, что составляло 8% годичного поступления угля. В первую неделю отпустили 25% угля, поступившего на склад, во вторую - 48% остатка, а в третью - остальной уголь. Сколько тонн угля должен получить склад за год? Сколько тонн угля отпускал склад еженедельно?

11. Комбайнер за 3 дня намолотил 63,9 т пшеницы, что составляло 18% задания. В первый день он выполнил 0,3 того, что намолочено за 3 дня, во второй день - 60 % остатка, а в третий - остальную пшеницу. Сколько тонн зерна намолачивал комбайнер в каждый из этих дней, и каково плановое задание?

12. На лесосклад привезли 20 вагонов леса по 38,5 куб.м. в каждом вагоне. Из них сосна составляла 60%, дуб - 45% количества сосны, а остальной лес - береза и липа. Сколько было на складе березы и липы.

13. Легковая автомашина в первый час прошла 48 км, что составляет 20% всего расстояния между городами, во второй час - 18,75% остатка, а остальной путь - за последующие три часа, поровну в каждый из них. Сколько км проходила автомашина в каждый из последних трех часов?

14. Из топливного склада привезли в первый день 12,6 т угля, во второй - 75% того количества, которое привезли в первый, а в третий - в 1,5 раза меньше того, что привезли за первые 2 дня. Количество вывезенного угля за 3 дня составляло 16% всего угля, имеющегося на складе. Сколько тонн угля было вначале на складе?

15. Три бригады производили прополку кукурузы. Первая бригада прополола 30% всей площади, вторая - 60% того, что прополола первая, а третья остальную площадь. Сколько гектаров пропололи все бригады вместе, если третья бригада прополола на 198 га больше, чем первая?

16. Три звена производили посадку леса. Первое звено засадило 38% всей площади, второе - 52% остатка, а третье - остальную площадь. Сколько га леса посадили 3 звена, если первое звено посадило на 1,44 га больше, чем второе?

17. Лесничество производило посадку леса. Под сосну отвели 32,5% всей площади, под дуб - 70% остатка, а остальную площадь - под другие деревья. На какой площади посадили деревья, если под сосну отвели на 12,25 га больше, чем под другие деревья?

18. Бригада рабочих решила за три дня провести водопровод. В первый день она проложила 35% всего водопровода, во второй - 60% остатка, а в третий - остальную часть, причем в третий день бригада проложила на 3,12 км меньше, чем во второй. Сколько км водопровода проложила бригада за три дня?

19. Три класса учащихся помогали колхозу в прополке кукурузы. Один класс пропололи 30% всей площади, второй - 60% остатка, а третий - всю остальную площадь. Сколько га кукурузы пропололи три класса вместе, если третий класс прополол на 11, 2 га меньше, чем второй?