Аналитическое выравнивание временного ряда

При аналитическом выравнивании временного ряда теоретические (расчетные) значения ряда определяются исходя из предположения об их зависимости от времени, т.е. y=f(t).

Основная задача состоит в выборе наилучшей формы тренда, выражающей сущность изучаемого процесса, в расчете неизвестных параметров уравнения тренда.

Тренд – это основная тенденция развития явления во времени, некоторое общее направление развития.

Для аналитического выравнивания временного ряда могут использоваться разнообразные формы тренда. В курсовой работе используется критериальный способ определения наилучшей формы тренда, т.е. на основе статистических критериев.

В качестве уравнений тренда в курсовой работе использованы:

a. уравнение прямой: ;

b. уравнение параболы: ;

c. уравнение показательной функции: .

Параметры a, b, c определяются методом наименьших квадратов.

При выравнивании по прямой для нахождения параметров a и b используется система нормальных уравнений, имеющая вид:

Нахождение параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого временного ряда была равна нулю:

При нечетном числе уравнений ряда динамики для получения уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, будут обозначаться натуральными числами со знаком минус(-1, -2, -3 и т.д.), а ниже – натуральными числами со знаком плюс( +1, +2, +3 и т.д.)

В этом случае будет равна нулю, а система нормальных уравнений будет преобразована следующим образом:

откуда

;

Расчеты сведены в табл.2.

Таблица 2

Расчет объема перевозок по уравнению прямой

Порядковый номер года, i	Год,	Условное обозначение времени,	Объем перевозок,
		-7			-77		-3
		-6			-96		-2
		-5			-105		-1
		-4			-112
		-3			-78		-4
		-2			-78
		-1			-42
							-5
							-2
							-2
							-2
Итого	x							40,024	133,901

a=42,27; b=4,06; y=42,27+4,06·t

-отклонение фактических уровней временного ряда от теоретических (точек на тренде):

.

Рисунок 2

Построение тренда по уравнению прямой

Параметры a, b и c уравнения параболы 2-го порядка определяються по формулам (при ):

Расчеты сведены в табл. 3.

Таблица 3

Расчет объема перевозок по уравнению параболы 2-го порядка

Поряд- ковый номер года i	Год ti	Услов- ные обозна- чения	Объем перевозок yi, млн.т
		-7				-77		11,285	-0,285	0,285	0,081
		-6				-96		16,442	-0,442	0,442	0,195
		-5				-105		21,429	-0,429	0,429	0,184
		-4				-112		26,249	1,751	1,751	3,068
		-3				-78		30,899	-4,899	4,899	24,002
		-2				-78		35,381	3,619	3,619	13,095
		-1				-42		39,695	2,305	2,305	5,314
								43,840	2,160	2,160	4,666
								47,816	0,184	0,184	0,034
								51,624	1,376	1,376	1,893
								55,263	-6,263	6,263	39,231
								58,734	-1,734	1,734	3,008
								62,036	-1,036	1,036	1,074
								65,170	2,830	2,830	8,008
								68,135	0,865	0,865	0,748
Итого	x							634,000	30,179	30,179	104,601

a=43,84; b=4,06; c=-0,08; y=43,84+4,06·t-0,08·t².

Рисунок 3

Построение тренда по уравнению параболы 2-го порядка

При выравнивании временного ряда по показательной кривой для упрощения расчетов от уровней ряда переходят к их логарифмам;

Приравниваем , получаем:

Тогда:

Параметры a и b определяются по формулам:

;

Расчеты сведены в табл. 4

Таблица 4

Поряд- ковый номер года i	Год ti	Услов- ные обозна- чения	Объем перевозок yi, млн.т
		-7			1,041	-7,290	16,712	5,712	5,712	32,624
		-6			1,204	-7,225	18,759	2,759	2,759	7,612
		-5			1,322	-6,611	21,057	0,057	0,057	0,003
		-4			1,447	-5,789	23,637	-4,363	4,363	19,037
		-3			1,415	-4,245	26,533	0,533	0,533	0,284
		-2			1,591	-3,182	29,783	-9,217	9,217	84,953
		-1			1,623	-1,623	33,432	-8,568	8,568	73,416
					1,663	0,000	37,527	-8,473	8,473	71,787
					1,681	1,681	42,125	-5,875	5,875	34,519
					1,724	3,449	47,285	-5,715	5,715	32,658
					1,690	5,071	53,078	4,078	4,078	16,631
					1,756	7,023	59,581	2,581	2,581	6,660
					1,785	8,927	66,880	5,880	5,880	34,571
					1,833	10,995	75,073	7,073	7,073	50,027
					1,839	12,872	84,270	15,270	15,270	233,174
Итого	x				23,615	14,053	635,731	1,731	86,153	697,956

a=37,53; b=1,12; y=37,53*1,12^t .

Рисунок 4

Построение тренда по уравнению показательной функции