Решение методом скользящей средней
Выравнивание динамических рядов.
Скользящие средние
Динамические ряды – это ряды показателей, характеризующих величину явления на определенные моменты времени (моментальные ряды) или за определенные периоды.
Выявление основной направленности динамического процесса.
В практике социально-экономических исследований ряд динамики обычно разлагают на следующие три составляющие:
- основная тенденция (тренд);
- коротко-периодические колебания (переменная);
- быстрые хаотические изменения.
Тренд – это зависимость, выражающая основную направленность изменения (динамики) изучаемого показателя: его рост, падение или колеблемость.
Выявление основной направленности динамики процесса производится различными методами:
- метод скользящих средних;
- выравнивание по методу наименьших квадратов;
- выравнивание по методу Фурье.
Метод скользящих средних.
В методе скользящих средних находят главные уровни динамического ряда путем замены абсолютных данных средними значениями за определенные периоды. Различают метод взвешенных скользящих средних и невзвешенных скользящих средних.
В методе невзвешенных скользящих средних абсолютные данные заменяются их средними значениями (средними арифметическими) за определенные периоды. При выборе этих периодов производится «скольжение», в результате которого в каждом очередном периоде исключаются первые уровни ряда и включаются последующие, т.е. весь ряд разбивается на несколько накладывающихся один на другой участков времени, содержащих обычно от 2-х до 5-ти наблюдений. Уровни, соответствующие наблюдениям, заменяются одним уровнем, равным математическому ожиданию исходных уровней и размещаемым посередине участка времени. При использовании невзвешенных скользящих средних период сглаживания может состоять из четного или нечетного числа членов.
В случае применения взвешенных скользящих средних первые скользящие средние находят по формуле:
(y1+y2) / 2, (y2+y3) / 2, …
Используя найденные скользящие средние, находят вторые скользящие средние:
((y1+y2) / 2 + (y2+y3) / 2) / 2 = (y1+2y2+y3) / 4, …
Третьи скользящие средние:
((y1+2y2+y3) / 4 + (y2+2y3+y4) / 4) / 2 = (y1+3y2+3y3+y4) / 8, …
Веса уровней при применении взвешенных скользящих средних образуют коэффициенты бинома Ньютона:
2-я скользящая средняя – 121;
3-я скользящая средняя – 1331;
4-я скользящая средняя – 14641 и т.д.
Задача.
Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего объем выпуска продукции предприятием в течение 15-дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя.
| День месяца | Объем продукции | День месяца | Объем продукции |
Решение.
Ниже описан алгоритм и представлена таблица с результатами.
1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждый период времени (5 или 4 дня) со сдвигом на один момент времени. Например,
5-ти дневная сумма в 5-й день месяца = 30+31+31+32+30 = 154, а
в 6-й день месяца = 31+31+32+30+30 = 154.
2. Рассчитаем скользящую среднюю для первого 5-ти дневного периода =
= 30+31+31+32+30/5 = 30,8 или 5-ти дневная сумма/5 и проставим результат в середину периода - 3-ий день месяца, и т.д. рассчитаем вторую скользящую среднюю….
3. Для 4-х дневного периода и суммы и скользящие средние рассчитываются аналогично.
4. 4-х дневная средняя сцентрированная находится из двух смежных скользящих средних
5. Таблица составляется в табличном редакторе MS Excel с использованием функций СУММ и СРЗНАЧ.
| День месяца | Объем продукции | 5-ти дневная сумма | 5-ти дневная средняя | 4-х дневная сумма | 4-х дневная средняя | 4-х дн. ср. сцентрированная |
| 30,8 | ||||||
| 30,8 | 30,9 | |||||
| 30,75 | 30,9 | |||||
| 30,9 | ||||||
| 31,2 | 30,75 | 31,1 | ||||
| 31,4 | 31,5 | 31,6 | ||||
| 31,6 | 31,75 | 31,6 | ||||
| 31,8 | 31,5 | 31,75 | ||||
| 31,9 | ||||||
| 31,75 | ||||||
| 32,4 | 32,25 | 32,5 | ||||
| 32,75 | ||||||
Вывод: По выровненным скользящим средним, особенно, по 5-ти дневной средней, видно, что наблюдается в основном рост объема продукции, за исключением незначительных колебаний (переменные составляющие) в начале и конце периода.
Варианты для самостоятельной работы.
| Вариант 1. | Вариант 2. | ||||||||
| Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего изменения показателя в течение 15-ти дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя. | Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего изменения показателя в течение 15-ти дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя. | ||||||||
| День месяца | Значения показателя | День месяца | Значения показателя | ||||||
| Вариант 3. | Вариант 4. | ||||||||
| Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего изменения показателя в течение 15-ти дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя. | Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, описывающего изменения показателя в течение 15-ти дневного периода. Использовать сглаживание по 5 и 4 уровням. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков. Определить динамику изменения показателя. | ||||||||
| День месяца | Значения показателя | День месяца | Значения показателя | ||||||
Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза
Задача. Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %
| Январь | Февраль | Март | Апрель | Май | Июнь | Июль | Август | Сентябрь | Октябрь |
| 2,99 | 2,66 | 2,63 | 2,56 | 2,40 | 2,22 | 1,97 | 1,72 | 1,56 | 1,42 |
Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя метод скользящей средней.
Решение методом скользящей средней
Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо:
1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3).
2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов
m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76
Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.
Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.
m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62
Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.
3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:
 где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель; mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному. У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52 Определяем скользящую среднюю m для октября. m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5 Строим прогноз на декабрь. У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53 Определяем скользящую среднюю m для ноября. m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49 Строим прогноз на январь. У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49 Заносим полученный результат в таблицу. |
 |
Варианты для самостоятельной работы.
Вариант 1.
Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, колебания курса доллара США в течение 10-ти дневного периода. Интервал сглаживание равен 3. Построить прогноз курса на 3 дня. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков.
Вариант 2.
Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, колебания курса евро в течение 10-ти дневного периода. Интервал сглаживание равен 3. Построить прогноз курса на 3 дня. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков.
Вариант 3.
Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, колебания курса японской иены в течение 10-ти дневного периода. Интервал сглаживание равен 3. Построить прогноз курса на 3 дня. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков.
Вариант 4.
Провести сглаживание методом скользящей средней динамического ряда, колебания курса фунта стерлингов Соединенного королевства в течение 10-ти дневного периода. Интервал сглаживание равен 3. Построить прогноз курса на 3 дня. Представить исходный и сглаженный ряды в виде графиков.