Общая формулировка исходной и двойственной задач ЛП
| Исходная | Двойственная | |
| Цель | max:  | min:  |
| Ограничения |  |  |
4.3 Решение двойственной задачи об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха с помощью MS Excel
1. Организуйте данные так, как показано на рис. 12.
Рисунок 12 – Организация данных на листе MS Excel для двойственной задачи к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха
2. Вызовите «Поиск решения»,заполните окно согласно модели. Не забудьте отметить в параметрах минимизации, что это линейная модель.
3. Решение двойственной задачи представлено на рис. 13.Обратите внимание, что цена ресурса «Стекло» y2= 0. Подумайте почему.
Рисунок 13 – Результат решения на листе MS Excel для двойственной задачи к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха
Задание 1. Задача ЛП
Выберите вариант задания согласно вашему порядковому номеру в списке группы.
1. Постройте экономико-математическую модель задачи линейного программирования (ЗЛП), дайте необходимые комментарии к ее элементам.
2. Сформулируйте двойственную задачу к ЗЛП, постройте экономико-математическую модель двойственной задачи.
3. Решите исходную и двойственную задачи при помощи надстройки «Поиск решения» MS Excel, выведите отчеты об устойчивости для исходной и для двойственной задач, поясните результаты.
Вариант 1
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.
| Питательное вещество | Количество питательных веществ в 1 кг корма | |
| 1 вид корма | 2 вид корма | |
| A | ||
| B | ||
| Цена 1 кг корма, тыс. руб. | 0,2 | 0,3 |
Вариант 2
Совхозу требуется не более 10 трехтонных автомашин и не более 8 пятитонных. Отпускная цена автомашины первой марки 2 000 ден. ед., второй марки 4 000 ден.ед. Совхоз может выделить для приобретения машин 40 000 ден. ед. Сколько следует приобрести автомашин каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъемность была максимальной.
Вариант 3
Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный — 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется,по меньшей мере,10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный — 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Вариант 4
На имеющихся у фермера 400 га земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои — 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей, — 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои — 6 ден. ед. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.
Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.
Вариант 5
Финансовый консультант фирмы «ABC» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».
Анализируются акции «Дикси - Е» и «Дикси - В». Цецы на акции: «Дикси - Е» — 5 долл. за акцию; «Дикси - В» — 3 долл. за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук. По оценкам «ABC», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси - Е» — 1,1 долл.; «Дикси - В» — 0,9 долл.
Вариант 6
При производстведвух 2 видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.
| Ресурсы | Норма затрат ресурсов на товары | Общее количество ресурсов | |
| 1-го вида | 2-го вида | ||
Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида — 3 ден. ед.
Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.
Вариант 7
Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка — «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» — 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника».
Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?
Вариант 8
Имеются два проекта на строительство жилых домов. Расход стройматериалов, их запас, и полезная площадь дома каждого проекта приведены в таблице. Определить, сколько домов первого и второго проекта следует построить, чтобы полезная площадь была наибольшей.
| Стройматериалы | Расход стройматериалов (м3) на один дом | Запас строй материалов, м3 | |
| I | II | ||
| Кирпич силикатный | |||
| Кирпич красный | |||
| Пиломатериалы | |||
| Полезная площадь, м2 | - |
Вариант 9
Сельскохозяйственное предприятие может приобрести тракторы марок М1 и М2 для выполнения работ Р1, Р2и Р3. Производительность тракторов при выполнении указанных работ, общий объем работ, и стоимость каждого трактора приведены в таблице.
Найти оптимальный вариант приобретения тракторов, обеспечивающий выполнение всего комплекса работ при минимальных денежных затратах на технику.
| Вид работ | Обьем работ, га | Производительность трактора марки | |
| M1 | M2 | ||
| P1 | |||
| P2 | |||
| P3 | |||
| Стоимость трактора, ден. ед. |
Вариант 10
При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. протеина, 10 ед. углеводов. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице.
Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 ден.ед., второго – 6 ден.ед.
Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.
| Питательные вещества | Количество питательных веществ в 1 кг корма | |
| 1 вид корма | 2 вид корма | |
| Белки | ||
| Углеводы | ||
| Протеины |
Вариант 11
Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице.
| Вид сырья | Нормы расхода сырья на одно изделие, кг | Общее количество сырья, кг | |
| A | B | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль от реализации одного изделия, ден. ед. | - |
Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпустить не менее, чем изделий А.
Вариант 12
Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.
Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.
Вариант 13
При производстве двух видов продукции используется 3 вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные приведены в таблице.
| Запасы сырья | Расход сырья на единицу продукции | |
| 1 вид продукции | 2 вид продукции | |
| Прибыль |
Вариант 14
Для изготовления шкафов и буфетов мебельная фабрика применяет древесину четырёх видов, запасы которой ограничены и составляют соответственно: 12, 16, 12, 8 единиц. Количество единиц древесины для изготовления 1 шкафа и 1 буфета даны в таблице. Требуется составить такой план выпуска продукции, который обеспечивает наибольший доход, если от реализации шкафов получено 2 д. ед. дохода, а буфетов – 3 д. ед. дохода.
| Ресурсы | Запасы | Расход | |
| 1 шкаф | 1 буфет | ||
| --- | 0,4 | ||
| 0,4 | --- | ||
| 0,2 | 0,2 | ||
| 0,1 | 0,2 | ||
| Доход | 2 ден. ед. | 3 ден. ед. |
Вариант 15
При производстве двух видов продукции используется 3 вида сырья (исходные данные приведены в таблице). Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.
| Запасы сырья | Расход сырья на ед. продукции | |
| 1 вид продукции | 2 вид продукции | |
| Прибыль | 40 ден. ед. | 50 ден. ед. |
Вариант 16
Для кормления коров используются концентрированные и грубые корма. Один кг концентрата содержит 1 кормовую единицу и 0,08 протеина. Один кг грубых кормов содержит 0,25 кормовых единиц и 0,04 протеина. Суточный рацион одной коровы должен содержать не менее 10 кормовых единиц и не менее 1,2 единиц протеина. Определить оптимальный вариант суточного рациона кормления при условии, чтобы стоимость рациона была минимальной, если 1 кг концентрата стоит 5 ден. ед., а 1 кг грубых кормов – 2 ден.ед.
Вариант 17
В рационе животных используют два вида кормов. Животные должны получать 3 вида веществ (исходные данные приведены в таблице). Составить рацион кормления, обеспечивающий минимальные затраты.
| Необходимое кол-во веществ | Содержание питательных веществ | |
| №1 | №2 | |
| Стоимость ед. корма |
Вариант 18
На предприятии выпускается два вида изделий, при этом используется три вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль. Исходные данные приведены в таблице:
| Тип сырья | Норма затрат ресурсов на единицу продукции | Запасы сырья | |
| №1 | №2 | ||
| Цена изделия | - |
Вариант 19
На свинокомплексе производится откорм свиней, причём каждое животное должно получать 6 единиц вещества А; 8 единиц вещества В; 12 единиц вещества С. Для откорма нужно закупить 2 вида кормов: в I корме содержится 2 ед. вещества А; 1 ед. вещества В; 3 ед. вещества С; во II корме содержится 1 ед. вещества А; 2 ед. вещества В; 4 ед. вещества С. Стоимость 1 ед. корма I вида равна 2 ден. ед. Стоимость 1 ед. корма II вида равна 3 ден. ед.
Сколько надо закупить каждого вида корма, чтобы обеспечить наиболее дешёвый рацион питания.
Вариант 20
Фермер в своем хозяйстве может одновременно откармливать до 500 уток и гусей. Откорм одной утки обходится (в среднем) 10 руб., а одного гуся — в 30 руб. Магазин согласен закупить откормленных птиц по следующим ценам: 30 руб. за утку, 70 руб. за гуся. Фермер может выделить на откорм птиц 9000 руб. В каком количестве следует откармливать уток и гусей, чтобы получить максимальную прибыль?
Вариант 21
Для повышения урожайности опытного участка необходимо внести в почву не менее 300 условных единиц фосфорных удобрений и 200 условных единиц калийных удобрений. В магазине не оказалось фосфорных и калийных удобрений в чистом виде. В продаже были только 2 смеси удобрений, содержащие фосфор и калий. Один грамм смеси I — содержит 2 единицы калийных удобрений и 9 единиц фосфорных удобрений. Один грамм смеси II содержит 7 единиц калийных удобрений и 4 единицы фосфорных удобрений. Обе смеси стоят одинаково — по 10 руб. за килограмм. Сколько нужно купить каждой смеси, необходимой для внесения в почву, чтобы при этом затратить на всю покупку как можно меньше денег?
Вариант 22
В швейном цехе имеется 380м ткани. На пошив одного платья требуется 5 м ткани, а на одну юбку 3м. Трудоемкость пошива платья 7 чел. часа, а юбки 4 чел.час. В мастерской работают 10 человек по 8 часов в день 5 дней в неделю. Сколько следует изготовить платьев и юбок для получения наибольшей стоимости продукции, если платье стоит 10., а юбка — 7 у.е..
Вариант 23
Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.
| Виды сырья | Нормы расхода сырья (кг) на одно изделие | Общее количество сырья (кг) | |
| А | В | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль от реализации одного изделия | - |
Определите производственную программу, обеспечивающую максимальную прибыль.
Вариант 24
Содержание витаминов А и С в .1 кг фруктов задано таблицей:
| Фрукты | Витамины | |
| А(мг) | С(мг) | |
| Вишня | ||
| Абрикосы | ||
| Дневная норма витаминов(мг) |
Сколько килограммов вишни и сколько граммов абрикосов следует включить в дневной рацион при минимальных затратах, если 1 кг вишни стоит 40 руб а 1 кг абрикосов — 50 руб.
Вариант 25
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.
| Вид заготовки | Количество заготовок при раскрое по способу | |
| №1 | №2 | |
| I | ||
| II | ||
| III | ||
| Величина отходов |
Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы получить заготовок не меньше нужного количества при минимальных отходах.
Транспортная задача
Четыре фабрики и их производственные возможности в условных единицах (за определенный период времени) показаны ниже:
| Кострома | 200 |
| Владимир | 150 |
| Краснодар | 225 |
| Рязань | 175 |
Произведенный товар распределяется и развозится в следующие города-потребители в указанном количестве:
| Брянск | Рязань | Ростов | Москва | Казань |
| 100 | 200 | 50 | 250 | 150 |
(За тот же период времени)
Транспортные расходы (стоимость перевозки ед. продукции) с каждой фабрики в каждый центр распределения
| Брянск | Рязань | Ростов | Москва | Казань | |
| Кострома | 1,5 | 1,75 | 2,25 | 2,25 | |
| Владимир | 2,5 | 1,75 | 1,5 | ||
| Краснодар | 1,5 | 1,5 | 1,75 | 1,75 | |
| Рязань | 0,5 | 1,75 | 1,75 | 1,75 |
Необходимо спланировать перевозки так, чтобы транспортные расходы были минимальны.
Данная задача является сбалансированной, т.к. объемы производства = спросу (200+150+225+175=750, 100+200+50+250+150=750). Если задача несбалансированна, то вводят фиктивного потребителя (при излишке запасов) или фиктивного производителя (при дефиците запасов).