Числовые последовательности и операции над ними
Определение. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие по некоторому закону определённое число , то говорят, что на множестве всех натуральных чисел задана последовательность
Общий член последовательности является функцией от .
Таким образом, последовательность является функцией натурального аргумента.
Задать последовательность можно различными способами. Необходимо только, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример.
или .
или
Для последовательностей можно определить следующие операции:
1) Умножение последовательности на число : , т.е.
2) Сложение (вычитание) последовательностей: .
3) Произведение последовательностей: .
4) Частное последовательностей: при .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого справедливо неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат отрезку .
Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого существует такое число , что
.
Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число , что
Пример. – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такой номер , что для всех выполняется неравенство:
Обозначение: . В этом случае говорят, что последовательность сходится к при .
Пример. Доказать, что предел последовательности .
Пусть при верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример. Показать, что при последовательность имеет пределом число 2. Имеем ; .Для любого положительного числа существует такое натуральное число , что , т.е. .
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела и , не равные друг другу.
.
Тогда по определению существует такое число , что
и .
Запишем выражение: .
Так как - любоеположительноечисло, то , т.е. . Теорема доказана.
Теорема. Если , то .
Доказательство. Из следует, что . В то же время:
, т.е. , т.е. . Теорема доказана.
Теорема. Если , то последовательность ограничена.
Необходимо отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предел. В то же время
Монотонные последовательности
Определении
1) Если для всех , то последовательность называется возрастающей.
2) Если для всех , то последовательность называется неубывающей.
3) Если для всех , то последовательность называется убывающей.
4) Если для всех , то последовательность называется невозрастающей.
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример. – убывающая и ограниченная; – возрастающая и неограниченная.
Пример. Доказать, что последовательность монотонная и возрастающая.
Найдем -й член последовательности
Найдем знак разности:
, т.к. , то знаменатель положительный при любом .
Таким образом, . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность
.
Найдём . Определим разность , так как , то , т.е. . Последовательность монотонно убывает.
Заметим, что монотонные последовательности являютс ограниченными по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.
Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
Эта последовательность ограничена сверху: , где – некоторое число. Так как любое ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань, то для любого существует число такое, что , где – точная верхняя грань множества значений последовательности.
Так как - неубывающая последовательность, то при ,
. Отсюда или или , т.е. .
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Теорема доказана.
Число е
Рассмотрим последовательность .Если последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел. По формуле бинома Ньютона:
или
Покажем, что последовательность – возрастающая. Действительно, запишем выражение и сравним его с выражением :
Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего значения , и, кроме того, у последовательности добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, для любого натурального числа , т.е последовательность возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: .
Таким образом, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.
.
Число является трпансцендентным числом и приблизительно равно
Число является основанием натурального логарифма.