Функции нескольких переменных (теория, задачи)
1. Какова формула частного приращения функции 
по аргументу 
?
а) 
б) 
в) 
г) 
2. Закончите определение. Число 
называется пределом функции при 
и 
, если для любого сколь угодно малого 
, найдется положительное число 
, такое, что для всех 
, 
, выполняется …
а) 
б) 
в) 
г) 
3. Закончите определение. Точка 
называется точкой максимума функции , если существует окрестность точки 
такая, что для всех точек 
из этой окрестности выполняется …
а) 
б) 
в) 
г) 
4. Найти 
, если 
а) 2ху б) 2х в) х г) 2х+у.
5. Найти 
, если 
а) 
б) 
в) 
г) 
.
6. Найти 
, если 
а) 
б) 
в) 
г) 
7. Найти 
, если 
а) 
б) 
в) 
г) 
.
8. Найти , если 
а) 
б) 
в) 
г) 
.
9. Найти 
, если 
а) 
б) 
в) 
г) 
.
10. Найти , если 
а) 
б) 
в) 
г) 
.
Кейс-задания
1.1)Предприятие производит изделия двух видов- 
и использует для этого сырье двух типов- 
. Нормы затраты сырья на единицу продукции каждого вида и объем расхода за 1 день заданы на таблице:
Пусть ежедневный объем выпуска изделий 
составляет 
и 
соответственно, тогда математическая модель для нахождения ежедневного выпуска каждого вида изделий может иметь вид …
1.2) Предприятие производит изделия двух видов- и использует для этого сырье двух типов- . Нормы затраты сырья на единицу продукции каждого вида и объем расхода за 1 день заданы на таблице:
Установите соответствие между видом изделия и ежедневным объемом его выпуска.
1.3)Зависимость объема выпуска Y от количества используемых трудовых ресурсов L определяется функцией Y=F(L) как
При а=8 объема выпуска не превзойдетвеличин…
Укажите не менее двух вариантов ответа:
1. 47
2. 48
3. 46
4. 49
2.1)Из половины круглого бревна с радиусом R=12 
см вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно а и высота b(см. рисунок).
Оставшаяся часть бревна поступает в отходы.
Значение высоты балки b, при котором количество отходов минимально, равно ____см.
-
-
- 12
- 6
2.2) Из половины круглого бревна с радиусом R=12 см вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно а и высота b(см. рисунок).
Оставшаяся часть бревна поступает в отходы.
Пусть 
- площадь балки в случае, когда основание балки равно половине высоты 
, а 
-наибольшая возможная площадь поперечного сечения балки. Тогда значение выражения 
равно …
2.3) )Производительность труда рабочего в течении 8-часового рабочего дня меняется по эмпирической формулу 
.
Средняя производительность работника (за 1 час) равна …
3.1) На рисунке изображен график скорости автомобиля V(t) при его прямолинейном движении для 0 < t <14 ,где t- время с момента старта, который состоит из отрезков прямых.
Пусть r(t)- расстояние, на которое удалился автомобиль за время t от …
Указать несколько:
- t
(5;6) - t (11;12)
- t (12;13)
- t (9;10)
3.2) )Издержки производства С(у.е.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.) как 
.
Если значения х принадлежат отрезку [2;7], то наибольшие издержки производства равны …
3.3) На рисунке изображен график скорости автомобиля V(t) при его прямолинейном движении для 0 < t <14 ,где t- время с момента старта, который состоит из отрезков прямых.
Если В-расстояние, на которое удалился автомобиль за время движения от точки старта, то значение В равно …
Вопросы к экзамену
1. Элементы теории множеств. Выпуклые множества и их свойства. Множество вещественных чисел.
2. Функция. Область определения, область значения функции. Способы задания и основные свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
3. Виды преобразований графиков функций. Суперпозиция функций. Обратная функция, ее график и свойства.
4. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности.
5. Предел функции в точке и на бесконечности. Пределы монотонных функций. Свойства функций, имеющих предел в точке или на бесконечности. Замечательные пределы.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (величины), их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение в вычислениях пределов.
7. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции.
8. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
9. Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Эталонные ряды.
10. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения.
11. Ряды с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши.
12. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.
13. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
14. Ряды Маклорена и Тейлора. Разложение функций в ряды Маклорена и Тейлора.
15. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Геометрический и физический смысл производной функции. Производная сложной и обратной функции. Правила дифференцирования, таблица производных.
16. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
17. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функций. Производные и дифференциалы высших порядков.
18. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.
19. Правило Лопиталя. Применение производной функции к вычислению пределов.
20. Условия монотонности функций. Экстремумы функции, необходимые и достаточные условия точек экстремума.
21. Наибольшее и наименьшее значения функции дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
22. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
23. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегрирование рациональных функций.
24. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Таблица интегралов.
25. Методы замены и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
26. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница, ее применение в вычислении определенных интегралов. Геометрический смысл.
27. Методы замены и интегрирования по частям в определенном интеграле.
28. Двойной и тройной интегралы, их свойства.
29. Функции многих переменных. Функция двух переменных, геометрический смысл. Область определения.
30. Предел функции двух переменных. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными.
31. Производная по направлению. Градиент.
32. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
33. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа, применение в поиске оптимальных решений.
34. Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.
35. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел