Явные и неявные функции
Определение.
Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.
Такая функция имеет вид: 
, т.е. переменная y выражается через х.
Например, 
; 
; 
.
Определение.
Неявной функцией y независимой переменной х называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего х и y и, не разрешенного относительно y.
Неявная функция имеет вид: 
.
Например, 
; 
.
Замечание.
Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ ее задания.
Основные характеристики функции
Изучить функцию – это значит охарактеризовать ход ее изменения (ее поведение) при изменении независимой переменной. Характеризуют функцию по следующим свойствам:
1) четность или нечетность функции;
2) периодичность функции;
3) нули функции;
4) возрастание или убывание функции (монотонность функции);
5) ограниченность функции.
Рассмотрим эти характеристики.
Четные и нечетные функции
Определение.
Функция называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е. 
.
Например, 
; 
; 
– четные функции.
График четной функции расположен симметрично относительно оси 
(рис.1.4).
 |
Рис. 1.4
Определение.
Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е. 
.
Например, 
; 
– нечетные функции.
График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис.1.5).
Рис. 1.5
Функция может быть ни четной. ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.
Например, 
; 
; 
.
Графики таких функций не симметричны ни относительно оси , ни относительно начала координат.
Периодические функции
Определение.
Функция называется периодической, если существует такое положительное число 
, что 
в области определения функции.
Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называется периодом функции 
.
Например, функции , являются периодическими с периодом 
.
Нули функции
Определение.
Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, 
, называется нулем функции.
Например, нулями функции 
являются значения 
и 
.
Монотонные функции
Определение.
Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области изменения аргумента, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции (рис.1.6, 1.7).
 |
Рис. 1.6 Рис. 1.7
Определение.
Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.
Ограниченные функции
Определение.
Функция называется ограниченной на множестве Х, если существует такое число 
, что для всех 
выполняется неравенство 
.
Например, функции и – ограниченные функции, т.к. 
и 
для 
.
График ограниченной функции лежит между прямыми 
и 
(рис.1.8).
 |
Рис. 1.8
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти область определения следующих функций:
1) 
; Ответ: 
;
2) 
; Ответ: 
;
3) 
; Ответ: 
;
4) 
; Ответ: 
.
2. Найти множество значений функции:
1) 
; Ответ: 
;
2) 
; Ответ: 
;
3) 
; Ответ: 
.
3. Найти 
, 
, 
, 
, если 
.
Ответ: 
; 
; 
; 
.
4. Пусть 
и 
. Найти 
и 
.
Ответ: 
; 
.
5. Установить чётность или нечётность функции:
1) 
; Ответ: чётная;
2) 
; Ответ: чётная;
3) 
; Ответ: общего вида;
4) 
; Ответ: нечётная.
6. Найти основные периоды функций:
1) 
; Ответ: 
;
2) 
; Ответ: 
;
3) 
; Ответ: 
.
7. Введя промежуточные аргументы, представить данную функцию, как суперпозицию других функций:
1) 
; Ответ: 
; 
; 
;
2) 
; Ответ: 
; 
; 
; 
; 
.
8. Для данных функций найти явные обратные:
1) 
; Ответ: 
;
2) 
; Ответ: 
;
3) 
; Ответ: .