Изображение функции Дирака

Рассмотрим важную для приложений газонефтепромысловой Механики функцию Дирака.

Определим функцию

график которой представлен на рис. (10.3.)

Эту функцию можно рассматривать как силу величины действующую время , импульс ее за это время равен 1 при любом .

Введем предел этой функции при , который можно считать силой, бесконечно большой при и равной нулю для всех t > 0, но импульс ее по-прежнему равен 1. Эта функция называется импульсной функцией нулевого порядка или -функцией или функцией Дирака.

Итак,

Изображение этой функции естественно определить как предел изображения при

Имеем

Тогда .

Рис. 10.3 Рис. 10.4

Полученную функцию можно считать изображением лишь условно, так как она не стремится к нулю при Но для нее имеют место основные теоремы операционного исчисления. Например, применяя теорему запаздывания, можно получить

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с -функцией, важные для приложений.

Обозначим

Очевидно, что

H

График функции H представлен на рис. (10.4). Кроме того имеем

При как мы уже видели, стремится к -функции. Для нее справедливо по-прежнему соотношение Функция H при превращается в единичную функцию :

=

и таким образом производная -функции равна единичной функции.

Определим интеграл, содержащий импульсную функцию, следующим образом:

.

Или, в общем случае при

Теорема обращения

Рассмотрим общий случай определения оригинала по известному изображению. Пусть f (t) ← F (p). Будем предполагать, что функцию f (t) можно представить интегралом Фурье, т. е.

По определению изображения

Умножим обе части последнего равенства на и проинтегрируем от до Тогда получим

В правой части этого равенства положим будем иметь

Так как при то

В этом равенстве перейдем к пределу при :

Правая часть последнего равенства представляет собой интеграл Фурье, с помощью которого выражается функция и, следовательно, будем иметь

Отсюда получаем

Эта формула называется формулой обращения. Путь интегрирования выбирается так, чтобы все особенности функции F (р) лежали левее его.

Интеграл (10.8) вычисляется обычно путем перехода к замкнутому контуру и применения теории вычетов.

1. Пусть функция F (р) имеет своими особенностями в плоскости р только полюсы. Выберем прямую так, чтобы все особые точки лежали левее этой прямой. Тогда интеграл (10.8) вычисляется на основании леммы Жордана:

Если F (р) стремится к нулю при , тогда где взятый по дуге окружности такой, что на ней (см. рис.10.5) стремится к нулю при т.е.

Возьмем теперь контур, состоящий из отрезка АВ прямой и дуги радиус которой выберем настолько большим, чтобы все особые точки F (р) попали внутрь рассматриваемого контура.

Рис. 10.5

Тогда по теореме о вычетах имеем

На основании леммы Жордана

,

а интеграл по отрезку АВ, если , переходит в интеграл по прямой Следовательно, переходя к пределу при в (10.9), получим

(10.10)

В частности, если изображение (является отношением двух целых функций А (р) и В (р), т. е. функций, аналитических на всей комплексной плоскости ( ) и имеющих конечное число нулей, то особыми точками F (р) могут быть только полюсы.

Пользуясь формулой (8.4), для вычисления вычетов на основании (10.10) получаем в случае простых полюсов следующее выражение для оригинала:

2. Если F (р) имеет существенно особые точки и точки ветвления, то в качестве контура интегрирования при вычислении интеграла (10.8) выбирается контур, состоящий из окружностей, заключающих точки разветвления, соединенных разрезами с контуром показанным на рис. (10.5).

Пример. Найти оригинал изображения (имеется в виду та ветвь , для которой , если р > 0).

По формуле обращения

Для вычисления этого интеграла нельзя пользоваться теоремой о вычетах, так как подинтегральная функции многозначна и имеет точку разветвления при р = 0.

Рассмотрим сначала этот интеграл, взятый по контуру L, состоящему из прямой АВ, дуг окружности ВС, АF, малой окружности DЕ радиуса , окружающей начало координат – точку ветвления, и прямых СD и FЕ – разрезов вдоль действительной оси (рис. 10.б). Внутри контура нет особых точек, поэтому интересующий нас интеграл равен 0.

Тогда

Рассмотрим интегралы вдоль дуг ВС и FА при Имеем

На дуге угол меняется от до , на дуге от до , следовательно, на этих дугах На дуге угол меньше , а на больше , т. е. также больше нуля. Поэтому на ВС и FA будут справедливы неравенства

т. е. стремится к нулю при

При этом интегралы по дугам bB и aA стремится к нулю, так как путь интегрирования конечен, а подынтегральная функция стремится к нулю.

Интегралы по дугам bC и Fa стремится к нулю в силу того, что здесь выполняются условия леммы Жордана.

Рассмотрим теперь

Положим , на CD

поэтому

Имеем

На поэтому

и

.

Таким образом, искомый интеграл

На окружности DE имеем

откуда следует, что на малой окружности DE величина имеет порядок малости , таким образом

где при равномерно относительно ; учитывая, что ; получим

где по модулю меньше, чем , т. е. стремится к нулю при .

Имеем окончательно при

Последний интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

Проинтегрируем его по b в пределах от 0 до b:

Положим здесь получим

Введя обозначение

можем записать

И так,

Теорема разложения

Рассмотрим важный частный случай нахождения оригинала, когда изображение его представляет собой правильную рациональную дробь, т. е. где и многочлены.

1. Допустим, что корни знаменателя простые.

Как известно всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей, т. е.

(10.11)

Если известны и , то оригинал определится формулой

так как

Коэффициенты находятся следующим образом: умножим (10.11) на и перейдем к пределу при Получим

игинал для изображенияСледовательно, оригинал для изображения выразится формулой

(10.12)

2. Если же знаменатель имеет кратные корни, то разложение дроби на простейшие имеет вид

Умножая обе части этого равенства на получим

(10.13)

Переходя к пределу при , найдем в (10.13), будем иметь

Продифференцировав равенство (10.13) по и перейдя к пределу при , найдем

Таким образом, можно найти все

И следовательно, оригинал будет иметь вид

(10.14)

Таким образом, мы доказали, что если изображение является дробно- рациональной функцией и – полюсы этой функции, то соответствующий оригинал определяется формулой (10.14), т. е. в рассматриваемом случае оригинал может быть найден без формулы (10.8).

Пример. Найти оригинал. Имеем полюс третьего порядка, простой полюс:

Следовательно,

Пример. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Пусть , тогда уравнение в изображениях будет иметь вид

,

отсюда

Пользуясь теоремой разложения, получим оригинал, предварительно представив изображение в виде суммы простейших дробей:

Следовательно, Таким образом, мы получаем решение задачи, не находя общего решения дифференциального уравнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаврентьв М.А. , Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», Москва, I 965.

2. Маркушевич А.И. Краткий куре теории аналитических функций. «Наука», Москва, I 966.

3. Свешников А.Г. Тихонов А.В. Теория функций комплексной переменной. «Наука», Москва, I 970.

4. Фукс Б.А.‚ Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Физматгиз. Москва, I 959.

5. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. «Наука», Москва, I 964.