Возведение комплексных чисел в натуральную степень

ИКТИБ ИТА ЮФУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

Лекция 2 Комплексные числа (часть 2)

Что главное мы узнали на прошлой лекции

Мы познакомились с алгебраической (декартовой) формой записи комплексных чисел, геометрическим смыслом линейных операций над комплексными числами: сложением , вычитанием и умножения на действительное число. Это, по сути, свойства линейных операций с векторами на плоскости.

Если заменить декартову систему координат на плоскости на так называемую полярную систему координат, то удается установить геометрический смысл нелинейных операций над комплексными – умножением и делением комплексных чисел.

При переходе к полярной системе координат декартовы координаты заменяются на полярные координаты , которые также однозначно определяют положение точки на плоскости. Формулы , являются формулами перехода к полярной системе координат плоскости.

Что мы узнаем на этой лекции

Мы продолжим изучение геометрического смысла нелинейных операций над комплексными. Теперь это будут операции возведения в натуральную степень и извлечения корня из комплексных чисел.

Также мы узнаем о некоторых важных свойствах многочленов и решении алгебраических уравнений.

Возведение комплексных чисел в натуральную степень

Пусть задано комплексное число в тригонометрической форме. Какое получится число при возведении его в квадрат? Так как при комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются, то при возведении в квадрат модуль комплексного числа возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2.

При возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на . Итак, справедлива формула . Это выражение называется формулой Муавра.

8. Извлечение корня -й степени из комплексных чисел

Пусть задано комплексное число в тригонометрической форме. Какое число при возведении его в -ю степень даст нам число, модуль которого равен , а аргумент равен ? Так как возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на , то, очевидно, комплексное число с модулем, равным и аргументом, равным , обладает требуемым свойством. Обратим внимание на то, что при изменении аргумента на значение, равное , после возведения в -ю степень комплексное число изменяет значение аргумента на , т.е. на . А это означает, что таким образом измененное комплексное число также является корнем -й степени из заданного числа .

Тем самым мы приходим к формуле , где .

Итак, является величиной, принимающей различных значений при . Заметим, что все эти значения корня лежат на окружности радиуса через равные значения аргумента .

Пример 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа , где , , .

Решение. План действий следующий. Мы найдем модуль и аргумент чисел , . Затем мы найдем искомый модуль числа, учитывая, что при возведении в степень модуль возводится в эту же степень, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, при делении – соответствующие модули делятся. После этого мы займемся аргументами чисел , и, учитывая соответствующие правила для аргументов, найдем искомый аргумент.

Рассмотрим число и вычислим его модуль . Найдем тангенс аргумента этого числа . Так как находится в 4-й четверти, то главное значение его аргумента равно .
Рассмотрим теперь число и вычислим его модуль . Найдем тангенс аргумента этого числа . Так как точка находится в 3-й четверти, то главное значение его аргумента равно .

Обратите внимание, что если равно , то равно . Добавочное слагаемое не меняет тангенса аргумента. Оно связано с необходимостью «попасть» в нужную четверть.

У числа найдем модуль . Тангенс аргумента здесь равен . Соответственно лавное значение его аргумента равно .

Заметим, что , т.е. модуль и аргумент этого числа равны 1 и . Теперь найдем - искомый модуль комплексного числа и одно из значений аргумента , равное . Отсюда главное значение аргумента равно .

Ответ. ,

Пример 3. Найдите . Решение. На рисунке отмечены 3 точки, которые являются корнями 3-й степени из числа 8. Эти 3 точки находятся на окружности радиуса 2 и имеют аргументы 0, и .

Итак, , , .