Возведение комплексных чисел в степень

Пример 9:

Возвести в квадрат комплексное число Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru : Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? В алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и так называемая формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru , то при его возведении в натуральную степень n справедлива формула:

Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Пример 10

Дано комплексное число Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru , найти Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru . Тогда по формуле Муавра: Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Не нужно считать на калькуляторе Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов, но так, чтобы значения синуса и косинуса не изменились. Один оборот составляет Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru : Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru . Надеюсь всем понятно, что Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru и Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:

Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru , найти Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru , Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru , Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru , Возведение комплексных чисел в степень - student2.ru

Это пример для самостоятельного решения.

Наши рекомендации