Интерполяционный многочлен, представленный в виде

Лабораторная работа №1

Проверка адекватности моделей: интерполяция и аппроксимация

Краткие теоретические сведения

Наиболее удобной в обращении на практике функцией является алгебраический многочлен. Чтобы задать многочлен, нужно задать только конечное число его коэффициентов. Значения многочлена легко вычисляются, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т.д. Поэтому алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения (аппроксимации) функций. Наряду с алгебраическими многочленами применяются также тригонометрические многочлены, которые являются более естественными для приближения периодических функций.

1.1. Интерполяция функций по формуле Лaгpанжа

Пусть известны значения некоторой функции f в n+1 различных точках х₀, х₁,…, х_n, которые обозначим следующим образом:

f_i=f(x_i), i=0, 1, …, n.

Например, эти значения получены из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений. Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х. Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен L_n(x) степени n, который в точкахх_i принимает заданные значения, т.е.

L_n(x_i)=f_i, i=0, 1, …, n, (1)

и называется интерполяционным. Точки x_i, i=0, 1, …, n называются узлами интерполяции.

Приближенное восстановление функции f по формуле

f(x)»L_n(x)(2)

называется интерполяцией функции f с помощью алгебраического многочлена. Существует теорема, согласно которой имеется только один интерполяционный многочлен n-ой степени, удовлетворяющий условию (1).

Интерполяционный многочлен, представленный в виде

, (3)

где

, (4)

называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а функции (4) – Лагранжевыми коэффициентами.

Погрешность интерполяции (экстраполяции) в текущей точке оценивается по формуле

, (5)

где

, (6)

, (7)

Максимальная погрешность интерполяции на всем отрезке [a, b]:

. (8)

1.1.1 Линейная интерполяция

Интерполяция по формуле (2) при n=1, т.е. с помощью линейной функции (3) называется линейной.

Если ввести обозначения h=x₁-x₀, q=(x-x₀)/h, то формула линейной интерполяции может быть записана в следующем виде:

. (9)

Величина q называется фазой интерполяции, которая изменяется в пределах от 0 до 1, когда х пробегает значение от х₀ до х₁.

Геометрическая линейная интерполяция означает замену графика функции на отрезке [x₀, x₁] хордой, соединяющей точки (х₀, f₀), (х₁, f₁), как показано на нижеприведенном рисунке.

1.2 Сплайны

Пусть отрезок [a, b] разбит на N равных частичных отрезков [x_i, x_i+1], где x_i=a+ih, i=0, 1, …, N-1; x_N=b, h=(b-q)/N.

Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке [a, b], а на каждом частичном отрезке [x_i, x_i+1] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a, b] производной – дефектом сплайна.

На практике наиболее широкое распространение получили кубические сплайны – сплайны третьей степени, имеющие на [a, b] непрерывную, по крайне мере, первую производную. Величина называется наклоном сплайна в точке (узле) х_i.

Нетрудно убедится, что кубический сплайн S₃(x), принимающий в узлах x_i, x_i+1, соответственно значения f_i, f_i+1, имеет на частичном отрезке [x_i, x_i+1] вид

(10)

Действительно, легко видеть, что S₃(x_i)=f_i, S₃(x_i+1)=f_i+1. Кроме того, простые вычисления показывают, что , . Можно доказать, что любой алгебраический многочлен третьей степени, принимающий в точках x_i, x_i+1 значения, равные соответственно f_i, f_i+1 и имеющий в этих точках производную, соответственно равную m_i, m_i+1, тождественно совпадает с многочленом (10).

Итак, чтобы задать кубический сплайн S₃(x) на всем отрезке [a, b], нужно задать в N+1 узлах x_i его значения f_i и наклоны или касательные m_i, i=0, 1, …, N.

Кубический сплайн, принимающий в узлах x_i те же значения, что и некоторая функция f называется интерполяционным. Он служит для аппроксимации функции f на отрезке [a, b] вместе с несколькими производными.

Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна.

1) Упрощенный способ

(11)

2) Если известны значения производной в узлах x_i, то полагаем m_i= , i=0, 1, …, N.

Способы 1 и 2 – локальные, так как с их помощью сплайн строится отдельно на каждом частичном отрезке [x_i, x_i+1].

3) Глобальный способ.

Обозначаем через значение в узле x_i справа, найденное непосредственно из выражения (10), а через значение в узле x_i слева, т.е. найденное из соответствующего выражения на частичном отрезке [x_i-1, x_i], которое получается из (10) заменой i на i-1.

Имеем

Требуем непрерывности S^”(x) в узлах:

= , i=1, 2, …, N-1

и приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно наклонов:

(12)

Поскольку неизвестных N+1, то необходимо задать еще два условия, которые называются краевыми (они обычно связаны с крайними значениями m₀ и m_N). Дадим три варианта краевых условий:

а) Если известны , , то задать m₀= , m_N= .

б) Производные и аппроксимируем формулами численного дифференцирования третьего порядка точности:

(13)

в) В некоторых случаях бывают известны значения f ^’’ на концах отрезка [a, b], т.е. величины , . Тогда требование , приводит к краевым условиям:

(14)

Система (12) при всех рассматриваемых краевых условиях имеет единственное решение. Решая систему (12) при выбранных краевых условиях, находим наклоны m_i, i=0, 1, …, N, во всех узлах. Затем по формуле (10) задаем сплайн на каждом частичном отрезке [x_i, x_i+1], i=0,1,…,N-1.

Построенный данным глобальным способом сплайн S₃(х) имеет дефект не больше единицы, т.к. этот сплайн обладает на отрезке [a, b] непрерывной второй производной.

Интерполяционный сплайн S₃(х) с наклоном, заданным способом 2 или 3, удовлетворяет неравенству

(15)

где с - независящая от h, i, f постоянная.

Точность аппроксимации функции f сплайном S₃(х) управляется выбором N, т.е. шагом h=(b-a)/N.

1.3. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов

Интерполяция на практике хороша лишь для таких функций, значения которых не искажены шумом. Случайные ошибки в значениях функции сильно искажают интерполяционное многочлены высоких степеней, а при интерполяции многочленами низких степеней теряется существенная информация. Поэтому, в этом случае, целесообразно применять «сглаживающую» аппроксимацию с минимизацией взвешенной средней квадратической ошибки аппроксимации. Это значит, что для данной функции f(х) требуется построить функцию F(х) вида

(16)

так, чтобы минимизировать взвешенную среднюю квадратическую ошибку на интервале [a, b]:

(17)

где g(х) – заданная весовая неотрицательная функция.

Если функции j(x) действительны и попарно ортогональны с весом g(х) на интервале [a, b], то есть если

(18)

то искомые коэффициенты определяются по формуле

(19)

Аппроксимация ортогональными функциями, например, ортогональными многочленами или тригонометрическими полиномами имеет то замечательное преимущество, что улучшение аппроксимации путем добавления нового члена a_n+1 j_n+1 (x) не меняет ранее вычисленные коэффициенты а₀, а₁, а₂, …,а_n.

Таким образом, для аппроксимации функции f(х) необходимо задать класс приближающих функций или n-мерное пространство, где n - число заданных значений функции f(х), и норму в этом пространстве. При приближении функций многочленами на дискретном множестве точек норма имеет вид:

(20)

где g_k заданные положительные веса, m + 1 - дискретное множество точек.

Согласно условию ортогональности (18):

(21)

и на основании (19) имеем:

(22)

Отметим, что можно использовать другую норму (20), тогда получим другое приближение, которое может значительно отличатся от предыдущего.

Приведем пример аппроксимации функций тригонометрическим многочленом:

(23)

Коэффициенты этого многочлена при учете условия (20) находятся согласно формулам:

(24)

где

Цель работы.

Получить практические навыки интерполяции и аппроксимации кривых аппроксимирующими многочленами и оценки точности полученных моделей.

Содержание работы и порядок ее выполнения

1. Согласно своему варианту из таблицы 1 в графе 2 выбрать вид исходной функции f(х).

2. Определив из таблицы 1 графа 3 отрезок аппроксимации, определить восемь значений функции f(х) на этом отрезке. Шаг табулирования функции выбрать равномерным, т.е. h=(b-a)/7.

3. Выбрать графы 4 таблицы 1 метод интерполяции, определить интерполяционный полином, проходящий через узлы интерполяции, найденный в п. 2.

4. Протабулировать исходную функцию и найденный интерполяционный полином с шагом h/10. Построить полученные графики. Оценить погрешность приближения.

5. Из таблицы 1 графа 5 определить класс аппроксимирующего многочлена.

6. Используя выражение (22) и данные, приведенные в таблице 2, определить наилучшее приближение функции f(х) на заданном отрезке по методу наименьших квадратов.

7. Протабулировать полученный в п. 6 многочлен с шагом h/7. Построить его график и сравнить с графиком, полученным в п. 4.

Таблица 1

№ п/п	Исходная функция	Отрезок аппроксимации	Метод интерполяции	Класс аппроксимирующих многочленов
	ех	[-0,5; 0]	Лагранжа	Чебышева
	lgx – (x-1)/x	[1; 10]	Линейная	Эрмита
		[1; 1000]	Лагранжа	Лагерра
	arc tg x	[0; 1]	Локальный кубический сплайн	Чебышева
	sin 3x	[0; p/6]	Локальный кубический сплайн	Лежандра
	1/x	[1; 2]	Линейная	Лагерра
	1/(x2+1)	[0; 1]	Лагранжа	Чебышева
	4x3-3x	[-1;1]	Локальный кубический сплайн	Лежандра
		[-1; 1]	Лагранжа	Лежандра
		[-p; p]	Локальный кубический сплайн	Гармоническ.
	x	[-p; p]	Линейная	Гармоническ.
	x2	[-p; p]	Глобальный кубический сплайн	Гармоническ.
	x2/(p-х)	[0; p]	Лагранжа	Гармоническ.
	ех	[0; p]	Линейная	Гармоническ.
	1/(х2-1)	[1; 2]	Локальный кубический сплайн	Эрмита

Таблица 2

№ п/п	Ортогональные многочлены	Вес	Интервал ортогонализации	Явное выражение
	Лежандра		[-1; 1]
	Чебышева		[-1; 1]
	Лагерра	е-х	[0; ¥]
	Эрмита		[-¥; ¥]
	Гармонические		[-p; p]	{cos nx, sin nx }