Преобразование комплексного чертежа

В курсе начертательной геометрии под преобразованием комплексного чертежа фигуры обычно понимается его изменение, вызванное перемещением фигуры в пространстве, или введением новых плоскостей проекций, или использованием других видов проецирования. Применение различных методов (способов) преобразования комплексного чертежа упрощает решение многих задач.

4.1. Метод замены плоскостей проекций

Метод замены плоскостей проекций состоит в том, что вместо одной из плоскостей проекций вводится новая плоскость, перпендикулярная к другой плоскости проекций. На рис. 4.1 показана пространственная схема получения комплексного чертежа точки А в системе (П₁П₂). Точки А₁ и А₂ – горизонтальная и фронтальная проекции точки А, АА₁А_xА₂ – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси x (рис. 2.3).

Новая плоскость П₄ перпендикулярна П₁. При проецировании точки А на П₄ получим новую проекцию А₄, фигура АА₁А₁₄А₄ – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна новой оси x₁₄ = П₄ Ç П₁. Для получения комплексного чертежа будем рассматривать фигуры, расположенные в плоскостях проекций. Поворотом вокруг оси x₁₄ совместим П₄ с П₁, затем поворотом вокруг оси x совместим П₁ (и П₄) с П₂ (на рис. 4.1 направления движения плоскостей П₄ и П₁ показаны штриховыми линиями со стрелками). Полученный чертеж приведен на рис. 4.2. Прямые углы на рис. 4.1, 4.2 помечены дугой с точкой, равные отрезки помечены двумя штрихами (противоположные стороны прямоугольников на рис. 4.1). От комплексного чертежа точки А в системе (П₁П₂) перешли к комплексному чертежу точки А в системе (П₁П₄), заменили плоскость П₂ на плоскость П₄, заменили А₂ на А₄.

На основе этих построений сформулируем правило замены плоскостей проекций (правило получения новой проекции). Через незаменяемую проекцию проводим новую линию проекционной связи перпендикулярно новой оси, затем от новой оси по линии проекционной связи откладываем отрезок, длина которого равна расстоянию от заменяемой проекции до старой оси, полученная при этом точка и есть новая проекция. Направление новой оси будем брать произвольно. Новое начало координат указывать не будем.

На рис. 4.3 показан переход от комплексного чертежа в системе (П₁П₂) к комплексному чертежу в системе (П₂П₄), а затем еще один переход к комплексному чертежу в системе (П₄П₅). Вместо плоскости П₁ введена плоскость П₄, перпендикулярная П₂, затем вместо П₂ введена плоскость П₅, перпендикулярная П₄. Используя правило замены плоскостей проекций, можно выполнить любое количество замен плоскостей проекций.