Образование комплексного чертежа (эпюра)

Для удобства пользования полученными изображениями от пространственной системы плоскостей перейдем к плоскостной.

Для этого:

1. Применим способ вращения плоскости p1 вокруг оси Х до совмещения с плоскостью p2 (рис. 2.7)

2. Совмещаем плоскости p1 и p2 в одну плоскость чертежа (рис. 2.8)

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru
Рис. 2.7 Рис. 2.8

Проекции А1 и А2 располагаются на одной линии связи перпендикулярной оси Х. Эта линия называется линией проекционной связи (рис. 2.9).

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru

Рис. 2.9

Так как плоскость проекций считается бесконечной в пространстве, то границы плоскости p1, p2 можно не изображать (рис. 2.10).

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru

Рис. 2.10

В результате совмещения плоскостей p1 и p2 получается комплексный чертеж или эпюр (от франц. epure чертеж), т.е. чертеж в системе p1 и p2 или в системе двух плоскостей проекций. Заменив наглядное изображение эпюром, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность и удобоизмеряемость изображений при значительной простоте построений. Чтобы представить по эпюру пространственную картину, требуется работа воображения: например, по рис. 2.11 надо представить картину, изображенную на рис. 2.12.

При наличии на комплексном чертеже оси проекций по проекциям А1 и А2 можно установить положение точки А относительно p1 и p2 (см. рис. 2.5 и 2.6). Сравнивая рис. 2.11 и 2.12 нетрудно установить, что отрезок А2 АХ – расстояние от точки А до плоскости p1, а отрезок А1АХ – расстояние от точки А до p2. Расположение А2 выше оси проекций означает, что точка А расположена над плоскостью p1. Если А1 на эпюре расположена ниже оси проекций, то точка А находится перед плоскостью p2. Таким образом, горизонтальная проекция геометрического образа определяет его положение относительно фронтальной плоскости проекций p2, а фронтальная проекция геометрического образа – относительно горизонтальной плоскости проекций p1.

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru
Рис. 2.11 Рис. 2.12

§ 4. Характеристика положения точки в системе p 1 и p 2

Точка, заданная в пространстве, может иметь различные положения относительно плоскостей проекций (рис. 2.13).

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru

Рис. 2.13

Рассмотрим возможные варианты расположения точки в пространстве первой четверти:

1. Точка расположена в пространстве I четверти на любом расстоянии от оси Х и плоскостей p 1p 2, например точки А, В (такие точки называются точками общего положения) (рис. 2.14 и рис. 2.15).

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru
Рис. 2.14 Рис. 2.15

2. Точка С принадлежит плоскости p2, точка D – плоскости p1 (рис. 2.16 и рис. 2.17)

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru
Рис. 2.16 Рис. 2.17

3. Точка K принадлежит одновременно и плоскости p1 и p2, то есть принадлежит оси Х (рис. 2.18):

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru

Рис. 2.18

На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод:

1. Если точка расположена в пространстве I четверти, то ее проекция А2 расположена выше оси Х, а А1 – ниже оси Х; А2А1 – лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси Х (рис. 2.14).

2. Если точка принадлежит плоскости p2, то ее проекция С2 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru С (совпадает с самой точкой С) а проекция С1 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Х (принадлежит оси Х) и совпадает с СХ: С1 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru СХ.

3. Если точка принадлежит плоскости p1, то ее проекция D1 на эту плоскость совпадает с самой точкой D Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru D1, а проекция D2 принадлежит оси Х и совпадает с DХ: D2 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru DХ.

4. Если точка принадлежит оси Х, то все ее проекции совпадают и принадлежат оси Х: К Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru К1 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru К2 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru КХ.

Задание:

1. Дать характеристику положения точек в пространстве I четверти (рис. 2.19).

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru

Рис. 2.19

2. Построить наглядное изображение и комплексный чертеж точки по описанию:

а) точка С расположена в I четверти, и равноудалена от плоскостей p1 и p2.

б) точка М принадлежит плоскости p2.

в) точка К расположена в первой четверти, и ее расстояние до p1 в два раза больше, чем до плоскости p2.

г) точка L принадлежит оси Х.

3. Построить комплексный чертеж точки по описанию:

а) точка Р расположена в I четверти, и ее расстояние от плоскости p2 больше, чем от плоскости p1.

б) точка А расположена в I четверти и ее расстояние до плоскости p1 в 3 раза больше, чем до плоскости p2.

в) точка B расположена в I четверти, и ее расстояние до плоскости p1=0.

4. Сравнить положение точек относительно плоскостей проекций p1 и p2 и между собой. Сравнение ведется по характеристикам или признакам. Для точек эти характеристики есть расстояние до плоскостей p1; p2 (рис. 2.20).

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru

Рис. 2.20

Применение вышеизложенной теории при построении изображений точки может быть осуществлено различными способами:

  • словами (вербальное);
  • графически (чертежи);
  • наглядное изображение (объемное);
  • плоскостное (комплексный чертеж).

Умение переводить информацию с одного способа на другой способствует развитию пространственного мышления, т.е. с вербального в наглядное (объемное), а затем в плоскостное, и наоборот.

Рассмотрим это на примерах (табл. 2.1 и табл. 2.2).

Таблица 2.1

Пример изображения точек
в системе двух плоскостей проекций

Четверть пространства Наглядное изображение Комплексный чертеж Характерные признаки
I Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Фронтальная проекция точки А выше оси Х, горизонтальная проекция точки А ниже оси X
II Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Фронтальная и горизонтальная проекции точки B выше оси Х
III Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Фронтальная проекция точки С ниже оси Х, горизонтальная проекция точки C выше оси X
IV Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Фронтальная и горизонтальная проекции точки D ниже оси Х

Таблица 2.2

Пример изображения точек, принадлежащих плоскостям p 1 и p 2

Положение точки Наглядное изображение Комплексный чертеж Характерные признаки
Точка А принадлежит плоскости p 1 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru А1 – ниже оси Х, А2 – на оси X
Точка B принадлежит плоскости p 1 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru B1 – выше оси X, B2 – на оси X
Точка С принадлежит плоскости p 2 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru С2 – выше оси X, С1 – на оси Х
Точка D принадлежит плоскости p 2 Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru D1 – на оси X, D2 – ниже оси X
Точка Е принадлежит оси X Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru E1 совпадает с E2 и принадлежит оси X

Задача № 1.

Построить комплексный чертеж точки А, если:

1. точка расположена во II четверти и равноудалена от плоскостей p1 и p2.

2. точка расположена в III четверти, и ее расстояние до плоскости p1 в два раза больше, чем до плоскости p2.

3. точка расположена в IV четверти, и ее расстояние до плоскости p1 больше, чем до плоскости p2.

Задача № 2.

Определить, в каких четвертях расположены точки (рис. 2.21).

Образование комплексного чертежа (эпюра) - student2.ru

Рис. 2.21

Задача № 3.

1. Построить наглядное изображение точек в четвертях:

а) А – общего положения в III четверти;

б) В – общего положения в IV четверти;

в) С – во второй четверти, если ее расстояние от p1 равно 0;

г) D – в I четверти, если ее расстояние от p2 равно 0.

Задача № 4.

Построить комплексный чертеж точек А, В, С, D (см. задачу 3).

Наши рекомендации