Лабораторная работа № 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Теоретический минимум

1. Определение производной функции в точке.

2. Геометрический смысл производной.

3. Механический смысл производной.

4. Правила дифференцирования: производная алгебраической суммы, произведения и частного.

5. Производная параметрически заданной функции.

6. Производная сложной функции.

7. Производные основных элементарных функций.

8. Уравнение касательной к графику функции.

9. Уравнение нормали к графику функции.

10. Правило Лопиталя.

Задания

1. Вычислить производную функции , где функции j_i(x) и y_j(x) находятся из таблиц:

i
ji(x)	sin x	cos x	tg x	ctg x	arc sin x	arc cos x	arc tg x	arc ctg x

j
yj(x)	аx k	a x	log a x	аln x

а значения параметров а, k, m, n и индексов i и j определяются в соответствии с вариантом работы:

№

a

k

m

n

i

j

№

a

k

m

n

i

j

2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y (x) = при x = n, где значения r, m, n определяются в соответствии с вариантом работы:

№	r	m	n	№	r	m	n	№	r	m	n
			– 3								– 1
			– 2
			– 1			– 3	– 3
						– 4	– 2			– 5
		– 5					– 1			– 6	– 3
		– 6				– 5				– 7	– 2
		– 7	– 3			– 6				– 9	– 1
		– 9	– 2			– 7
			– 1			– 9	– 3
							– 2			– 4

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x), заданной параметрически: в точке М(х(t₀); y(t₀)), где x(t), y(t) и t₀ определяются в соответствии с вариантом работы:

№	x(t)	y(t)	t0
	4×sin 3t	4×cos 3t	p/3
	×cos t	sin t	p/3
	5×(t – sin t)	5×(1– cos t)	p/3
	2t – t 2	3t – t 3
	cos t + sin t	sin 2t	p/4
	arc sin	arc cos	– 1
	t×(t×cos t – 2×sin t)	t×(t×sin t + 2×cos t)	p/4
	1 + 2×ln ctg t	tg t + ctg t	p/4
	3t×cos t	3t×sin t	p/2
	sin2t	cos2t	p/6
	arc cos	arc sin
	6×sin4t	6×cos4t	p/6
	3(t×sin t + cos t)	3(sin t – t×cos t)	p/4
			– 1
	1 – t 2	1 – t 3
	ln(1 + t 2)	t – arc tg t
	t – t×sin t	t×cos t
	3×cos t	4×sin t	p/4
	t – t 4	t 2– t 3
	t 3 + 1	t 2+ t + 1
	2cos t	sin t	p/3
	2tg t	2sin2t + 2sin 2t	p/4
	t 3 + 1	t 2	– 2
	sin t	e t
	sin t	cos 2t	p/6

4. Применяя правило Лопиталя, найти , если:

№	j(x)	y(x)	a
	x – arc tg x	x 3
	p – 2arc tg x	ln
	x – sin x	x – tg x
	p – 2arc tg x	ln
	p – 2arc sin x	sin 3(x – 1)
	e x – e –x	sin x × cos x
	1 – sin(px/2)	ln x
	sin(px/2)	ln (1 – x)
	x ln x – x + 1	(x – 1)×ln x
	a 2 – x 2	ctg	a
	– 1	cos x – 1
	ln(sin 2x)	ln(sin x)
	x×cos x – x×sin x	x×sin x
	– 1
	a x – b x
	1 – cos 2x	cos 7x – cos 3x
	ln x	1 + 2ln(sin x)	+0
	e 3x – 3x – 1	sin2 5x
	cos x × ln(x – 3)	ln (e x – e 3)	3 + 0
	tg(px/2)	ln(1 – x)	1 – 0
	e x – e –x – 2x	x – sin x
	e 2x – 1	arc sin x
	e x – 1 – x	x×(e x – 1)
	(x – 2p)2	tg(cos x – 1)	2p
	cos x		p/2
	1– sin x	(p/2 – x)2	p/2
	tg x – x	sin x – x
	1 –	sin x
	ln x	x a	¥
	ln(1 + x 2)	ln(p/2 – arc tg x)	¥

Справочный материал

к 8-й лабораторной работе

1. Производная функцииу = у(х) по переменной х в точке х₀ – конечный двусторонний предел отношения изменения значения функции у = у(х) к соответствующему бесконечно малому изменению значения аргумента х этой функции в окрестности точки х = х₀: у¢ (х₀) = = = = . Значение производной у¢ (х₀) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции у = у(х) при х = х₀ относительно положительного направления координатной оси х. Если s(t) – зависимость перемещения материальной точки от времени, то s¢ (t) = = v(t) – мгновенная скорость этой материальной точки в момент времени t.

2. Дифференцируемость функцииу = у(х): если в каждой точке х интервала (а; b) существует производная у¢(х), то функция у = у(х) называется дифференцируемой на этом интервале.

3. Правила дифференцирования – производная алгебраической суммы: (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ ; (u ± v ± w)¢ = u¢ ± v¢ ± w¢ ; производная произведения: (u×v)¢ = u¢×v + u×v¢; (u×v×w)¢ = u¢×v×w + u×v¢×w + u×v×w¢ ; производная дроби: (u/ v)¢ = (u¢×v – u×v¢ )/ v².

4. Производная параметрически заданной функцииx = x(t), y = y(t): y¢ (x) = y¢ (t) / x¢ (t).

5. Производная сложной функции: если y = u(v(w(x))), то = . Последовательность дифференцирования сложной функции обратна последовательности вычисления значения функции, в частности, на калькуляторе. Например, при вычислении значения функции у = sin²(ln(x³+ )) в точке х алгебраические операции выполняются в следующей последовательности: куб х, квадратный корень из х, сумма куба и квадратного корня, логарифм суммы, синус логарифма, квадрат синуса, следовательно, нахождение производной у¢ (х) сводится к произведению производных, определяемых в последовательности: производная квадрата синуса, производная синуса логарифма, производная логарифма суммы, производная суммы, равная сумме производных куба х и квадратного корня из х, т.е. каждая следующая дифференцируемая функция является аргументом предыдущей.

6. Таблица производных основных элементарных функций

Вид функции	Формула функции	Производная функции
1) Постоянная	y = C для всех х Î	С¢ = 0
2) Линейная	y = х, хÎ y = ах ± b, хÎ	х¢ =1R (ах ± b)¢ = а
3) Степенная	y = х а, х > 0, а Î y = х – а, х > 0, а Î y= 1/х, х ¹0 , х > 0 , х > 0, n Î \ {1}	(х а )¢ = аха – 1R (х– а )¢ = –ах – а –1 (1/х)¢ = –1/x2 ( )¢ = 1/( ) ( )¢ = 1/( )
4) Показательная	y = а х, а > 0, а ¹1, х Î y =е х, х Î y =е – х, х Î	(а х )¢ = а х×ln аR (е х )¢ =е х (е– х)¢ = – е– х
5) Показательно-степенная	y = u(х) v(х)	(uv)¢ = (v×uv–1)×u¢ + (uv×ln u)×v¢
6) Логарифмическая	y =log а х, а > 0, а ¹1, х > 0 y =ln х, х > 0	(log а х)¢ = 1/(x×ln a) (ln х)¢ =1/ х
7) Тригонометрическая	y =sin x х Î y =cos x х Î y = tg x х Î y = ctg x х Î	(sin x)¢ = cos x (cos x)¢ = – sin x (tg x)¢ = 1/cos2x (ctg x)¢ = – 1/sin2 x
8) Обратная тригонометрическая	y =arc sin x –1 £ х £ 1 y = arc cos x –1 £ х £ 1 y = arc tg x х Î y = arc ctg x х Î	(arc sin x)¢ = 1/ (arc cos x)¢ = – 1/ (arc tg x)¢ = 1/(1 + x2) (arc ctg x)¢ = – 1/(1 + x2)
9) Гиперболическая	y =sh x х Î y =ch x х Î y = th x х Î y = cth x х¹0	(sh x)¢ = ch x (ch x)¢ = sh x (th x)¢ = 1/ch2x (cth x)¢ = – 1/sh2 x

7. Уравнение касательнойк кривой у = у(х)в точке М(х₀; у₀), где y₀ = y(x₀): y = y₀ + у'(х₀)×(x – x₀).

8. Уравнение нормали к кривой у= у(х)в точке М(х₀; у₀): y = y₀ – ×(x – x₀).

9. Правило Лопиталя: = , где а – любое конечное число или ∞. Правило Лопиталя можно использовать только для неопределенностей вида и . Правило Лопиталя можно использовать многократно, если при его использовании снова возникает одна из указанных неопределенностей.