Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница

Пусть Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Тогда с учетом того, что логарифмическая функция непрерывна, имеем Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

7. применение производной для
исследования свойств функций.

7.1. Возрастание и убывание функций

Функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е. при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru выполняется неравенство Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонности функции.

Рассмотрим применение производной для нахождения интервалов монотонности функций.

Теорема 1 (достаточное условие возрастания функции). Если функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru непрерывна на отрезке Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru и дифференцируема на интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , причем Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ( Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ) для любого Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , то эта функция возрастает (убывает) на отрезке Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Пример 7.1. Исследовать на монотонность (т. е. возрастание и убывание) функцию: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Решение.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Неравенство Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , справедливо для x<–1 и для x>1. Следовательно, функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru возрастает на интервалах (–¥, –1)
и (1, +¥).

Поскольку неравенство Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru справедливо для

xÎ(–1, 1), то на интервале (–1, 1) функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru убывает.

7.2. Экстремумы функции

Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru определена на промежутке X и x0ÎX. Говорят, что в точке x0 функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru имеет максимум (минимум), если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ( Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание 1. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т. е. не могут быть его концом.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru дифференцируема в точке x0 и некоторой ее окрестности и x0 – точка экстремума, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Следствие. Если x0 – точка экстремума, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru или Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru не существует.

В качестве примера приведем функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru (рис. 3).

Рис. 3
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Очевидно, что x0 = 0 является точкой минимума, так как |0|<|x| для любого x ≠ 0. А в точке x0 = 0 производной Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru не существует.

Если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru или f'(x0) не существует, то точку x0 будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru определена и непрерывна в точке x0 и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, быть может самой точки x0, и точка x0 – критическая точка для функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru (т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru или Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru не существует). Тогда:

1) если при x < x0 производная Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , а для x > x0: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , то x0 – точка максимума;

2) если при x < x0: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , а при x > x0: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , то x0 – точка минимума.

Пример 7.2. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Построить её график.

Решение.

Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Найдем производную: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Тогда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru при x1=0 и x2 =2. Точки x1, x2 – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–¥; 0), (0; 2),
(2; +¥). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru
в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru (табл. 2).

Таблица 2

x Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru (0, 2) Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru убывает Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru возрастает Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru убывает

Определим знак Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru на каждом из интервалов: если xÎ(–¥, 0), то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ; если xÎ(0, 2), то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ; если xÎ(2, +¥ ¥), то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Отсюда определяется поведение функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru : на первом и последнем интервалах функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru убывает, а на втором – возрастает (рис.4).

y(x)=x2e-x
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Рис. 4

Отсюда следует, что x1 = 0 является точкой минимума, Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ,
а x2 =2 – точка максимума, Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значения. Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции.

Если на отрезке Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru есть точки минимума и максимума функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Аналогично для наибольшего значения.

Сформулируем алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x), непрерывной на отрезке:

1. Найти критические точки x1, x2, ..., xn функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Для этого необходимо решить уравнение Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

2. Отобрать все критические точки, принадлежащие отрезку Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

3. Вычислить значения функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru в этих критических точках и на концах отрезка.

4. Из этих значений выбрать самое большое и самое малое. Эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru на отрезке Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Пример 7.3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Решение.

1. Найдем критические точки для данной функции:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru при x1=0, x2 =–1, x3 =+1.

2. Все три критические точки принадлежат данному отрезку.

3. Вычислим значения функции в точках: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru :

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

4. Из найденных значений самое малое число 4, а самое большое число 13.

Таким образом, наименьшее значение функции равно 4, в точке х = 1, наибольшее значение равно 13, в точке х = 2 и в точке х = -2.

Пример 7.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru на отрезке Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Решение.

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru определена во всех точках; Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

2. На отрезке Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

3. Имеем три точки: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , в которых может достигаться наибольшее и наименьшее значения.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Итак, Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Пример 7.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru на отрезке Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Решение.

1. Найдем критические точки функции из условия, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru или такие, при которых Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru не существует:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Производная Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru во всех точках существует, Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , когда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Раскладывая левую часть на множители, получаем:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Отсюда находим критические точки: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

2. Из этих точек отрезку Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru принадлежат только две: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru и Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

3. Найдем значения функции в этих точках и на концах отрезка, т. е. при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru :

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru
= Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ;

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Итак, получили Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Среди многих применений производной функции одной переменной важное значение имеет решение так называемых задач на максимум (минимум).

Пример 7.6. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, у которого сумма катета и гипотенузы равна Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Решение.

Обозначим один из катетов треугольника через Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , тогда гипотенуза будет равна Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , а другой катет, по теореме Пифагора будет равен:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Площадь треугольника Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru должна быть максимальной, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru или Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru не существует. Находим производную:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru не существует, если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , но тогда катет окажется равным гипотенузе, что невозможно. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Тогда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Проверяем является ли эта точка точкой максимума. При Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , а при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Таким образом при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru площадь треугольника будет наибольшей.

Гипотенуза будет равна Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , где
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru – угол, прилежащий к катету Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Значит, Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ; другой угол будет Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Следовательно, искомый треугольник – это прямоугольный треугольник с углами Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru и сторонами Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru и Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Пример 7.7. Из трех одинаковых досок изготовить симметричный желоб с наибольшей площадью поперечного сечения.

Решение.

Ширину данных досок обозначим через Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Поперечное сечение желоба изображено на рис. 5,.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Обозначим через Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru угол Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ( Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru ), тогда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Площадь поперечного сечения (площадь трапеции) будет:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Наибольшее значение эта функция принимает в точке максимума, а необходимым условием того, что точка Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru является точкой максимума функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , является то, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru или Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru не существует. Найдем Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru :

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Но Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru всегда существует. Точки, в которых Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , находятся из уравнения: Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Тогда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru или Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Если Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , то Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Но в этом случае никакого желоба не получится, так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Остается случай, когда, Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , тогда Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Проверим, является ли эта точка Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru точкой максимума функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . При Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , производная функции принимает положительные значения, а при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru - отрицательные. То есть при Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей.

Таким образом, Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru действительно точка максимума. А площадь поперечного сечения составит

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

7.4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

Пусть Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru – функция, дифференцируемая на интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru .

Кривая, заданная функцией Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , называется выпуклой на интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой на интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Точка кривой M0(x0, f(x0)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 4 (достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции). Если во всех точках интервала Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru вторая производная функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru отрицательна, т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , то кривая Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru на этом интервале выпукла; если во всех точках интервала Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ruДифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru , то кривая Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru на этом интервале вогнута.

Пример 7.8.Определитьнаправление выпуклости и точки перегиба кривойДифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Решение.

Ищем точки х из области определения функции, в которых Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru или не существует.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru

Вторая производная равна нулю Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ruв точках Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru . Эти точки являются искомыми, так как область определения и область непрерывности данной кривой есть вся ось абсцисс. Других точек х, которые могли бы быть абсциссами точек перегиба, нет, так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3 страница - student2.ru существует всюду.

Наши рекомендации