Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в среде с учетом пространственно-временной дисперсии. Соотношения Линдхарда

При рассмотрении сред с пространственно-временной дисперсией мы учитываем зависимость диэлектрической проницаемости как от час­тоты, так и от волнового вектора.

В случае линейной изотропной среды с пространственно- временной дисперсией зависимость вектора индукции электрического поля от вектора напряженности имеет вид:

(Ф12.1)

или

здесь под понимаем тензор. Далее везде, где учитывается пространственная дисперсия (даже в изотропном случае), диэлектриче­ская проницаемость является тензором.

Пространственная дисперсия возникает потому, что индукция в какой-либо точке определяется электромагнитным полем ( ) не только в той точке, но и в некоторой ее окрестности.

Временная дисперсия возникает вследствие того, что в момент времени t определяется только полем в прошлом и настоящем (принцип причинности) [8, с. 202].

Если свойства среды стационарны и пространственно однородны, то ядро оператора будет зависеть только от разностей:

Тогда (Ф12.1) можно переписать в виде

Запишем поля и в виде фурье-компонент. Для этого выполним следующие преобразования:

Таким образом, приходим к уравнению связи:

В случае пространственно-временной дисперсии уравнения Максвелла принимают вид:

получаются усреднением точных микроскопических уравнений поля в вакууме. Однако в этом случае

Здесь мы полагаем , так как не связано с локальным образом, как это было в отсутствие пространственной дисперсии [1, § 103]. Например,

Плоские монохроматические волны:

В отсутствие пространственной дисперсии . Далее рассмотрим случай однородной среды:

Без пространственной дисперсии	С пространственной дисперсией

При наличии выделенного направления к тензор диэлектрической проницаемости изотропной среды может быть представлен в виде:

где

Так как в случае пространственной дисперсии мы не различаем индукцию и напряженность магнитного поля (В = Н), то переходим к другим характеристикам среды:

Сравнив итоговые формулы § 16 (см. таблицу), запишем:

Эти соотношения получены Линдхардом.

Нормальные волны

Волны, распространяющиеся в среде без источников, называются нормальными. Такие волны удовлетворяют уравнениям Максвелла в среде в отсутствие источников, из которых получается волновое уравнение.

Подействовав на второе уравнение оператором , а на третье – ( )получим:

Сложив их, перейдем к волновому уравнению:

(Ф13.1)

где

Для плоской волны уравнение (Ф13.1) принимает вид:

Введем фурье-образ L ядра

здесь или в компонентах

Вместо (Ф13.1) имеем:

Эта однородная система уравнений имеет нетривиальные решения лишь при условии или

(Ф13.2)

Уравнение (Ф13.2) называется дисперсионным. Оно устанавливает связь между и :

.

Рассмотрим случай изотропной среды без пространственно- временной дисперсии:

В терминах и тензор L имеет вид:

Тогда, приведя тензор к диагональному виду, получим:

Отсюда имеем:

Окончательно получим:

где п - показатель преломления.

Неоднородные среды

Использование в науке и технике материалов, обладающих сложной структурой, приводит к необходимости решения ряда специфических задач, порождаемых наличием в среде неоднородностей, под которыми будем понимать отклонения локальных значений материальных характеристик среды от некоторых заданных.

Расчет диэлектрических свойств таких неоднородных сред, как известно, сводится в общем случае к проблеме многих тел и, следовательно, имеет те же трудности. Несмотря на это, разработаны и используются приближенные методы вычисления эффективной диэлектрической проницаемости и поля таких систем. Диэлектрическая проницаемость неоднородных диэлектриков является случайной функцией координат, а это в свою очередь приводит к появлению случайных составляющих напряженности электрического поля и индукции . Причинами отмеченной неоднородности могут быть поликристал­личность, пористость, наличие дефектов и т.д. Область с однородными свойствами будем называть зернами неоднородности.

На рис.8 схематически изображены в случае а - поликристалл, а в случае б - композит. В первом случае зерно неоднородности - кристаллит, во втором - изотропное эллипсоидальное включение. Ориентация кристаллофизических осей кристаллита или глав­ных осей эллипсоида определяет реакцию зерна неоднородности на внешнее поле [6].В дальнейшем будем для простоты рассматривать диэлектрическую смесь, состоящую из двух изотропных компонентов. Между случайной и регулярной составляющими полей существует связь:

(Ф14.1)

Величина, стоящая в круглых скобках, устанавливает связь между средними значениями полей <D> и<Е> и представляет собой эффективную диэлектрическую проницаемость. Из формулы (Ф14.1) видно, что даже у смеси изотропных компонентов эффективная проницаемость является, вообще говоря, тензором. Для вычисления диэлектрических свойств матричных сред ввиду простоты используют сингулярное приближение. (Под матричной средой мы подразумеваем неоднородную среду, через которую можно провести кривую, проходящую через весь диэлектрик и полностью лежащую в пределах одного компонента, который называется матрицей). Оно распространяется на широкий класс сред, для которых можно ввести понятие эффективного зерна неоднородности (усредненного по размерам зерна в различных направлениях). Последнее имеет смысл в тех случаях, когда распределение по форме зерен изотропно или полностью упорядочено (механическая текстура). Это утверждение верно и для матричных смесей со случайным распределением включений, обладающим изотропией.

Если включения другой фазы распределены в матрице регулярным образом, использование сингулярного приближения сопряжено с некоторыми трудностями и требует модификации метода.

При периодическом распределении включений с тензором диэлектрической проницаемости в матрице, тензор диэлектрической проницаемости которой , электрическое поле - регулярная функция координат, причем в отсутствие свободных зарядов эта функ­ция обладает периодичностью.

Рассмотрим волновое уравнение в виде

(Ф14.2)

Для решения задач о неоднородных средах вводят вспомогательное поле, которое отличается от рассматриваемого лишь значениями материальных характеристик:

(Ф14.3)

Решение задачи (Ф14.3) для среды сравнения считается известным.

Из (Ф14.2), (Ф14.3) получим:

где .

Введя функцию Грина оператора , запишем:

(Ф14.4)

Иногда (Ф14.4) можно представить в виде ряда

Произведя усреднения

где - тензор эффективных диэлектрических проницаемостей и

для получим: .