Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии

Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.

Поле стационарно, если оно не зависит явно от времени, т.е.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в этом случаем принимают вид:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

+ связи:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

В электростатике используются первое и третье уравнения, а в магнитостатике второе и четвертое.

Связь полей с потенциалами:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Объёмная плотность точечного заряда.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Рассмотрим систему из точеченого заряда Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Здесь возникает необходимость использовать Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru -функцию.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Тогда:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Это соответствует случаю, когда заряд помещён в начало координат, а плотность заряда ищется в точке, с радиус-вектором Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru . Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Если же заряд помещён не в начало отсчёта, то плотность заряда перепишется в следующем виде:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

В случае системы точечных зарядов имеем:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Для изображения плотности точечного источника всегда используется Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru -функция.

Волновое уравнение в случае вакуума.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Аналогично уравнение получаем для Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru :

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Здесь будем использовать калибровку поперечных волн ( Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru ), т.к. в вакууме электромагнитные волны плоские поперечные волны. Тогда:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Закон сохранения заряда.

Запишем уравнение Максвелла: Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru . Подействуем на него оператором Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru скалярно. Получаем:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Но дивергенция всякого ротора равна нулю, поэтому в результате получаем:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru - уравнение непрерывности

Проинтегрируем обе части этого уравнения по некоторому объёму:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru , где Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru -единичный вектор нормали

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru определяет количество заряда выносимого через поверхность объёма. Если Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru - острый, то заряд выносится из объёма и Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru -положителен. Если Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru тупой, то заряд приходит в объём и Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru - имеет знак минус.

Типы калибровок.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Перепишем уравнения Максвелла:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

1.Калибровка Лоренца

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Тогда уравнение первое уравнение Максвелла перепишется в следующем виде:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru - уравнение Даламбера

Это уравнение есть – неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru - оператор гиперболического типа.

Для 4-го уравнения Максвелла имеем:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Все, имеющие физический смысл, результаты должны быть градиентно-инвариантыми:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

В силу калибровки Лоренца получаем:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Т.е. функция Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru должна удовлетворять однородному уравнению Даламбера (его ещё называют волновым уравнением)

2.Калибровка Кулона

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru - калибровка Кулона

Уравнение (А) перепишется в следующем виде:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru - уравнение Пуассона.

Если же Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru (в пустоте), то уравнение Пуассона принимает вид:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru -уравнение Лапласа.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

получаем, что функция Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru должна удовлетворять уравнению:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

3.Калибровка поперечных волн

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Полагаем Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru есть функция только координат.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Значит функция Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru должна удовлетворять уравнению:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

С помощью этих уравнений можно описывать электромагнитное поле в среде. В среде будем ставить индекс « Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru »=микро

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru включает в себя как связанные, так и свободные заряды в веществе. Каждой точке пространства ставится в соответствие функция Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru . Это значит, что мы заменяем реальную среду моделью – сплошной средой, т.е. мы свойства разных точек «размазываем» по пространству. Существуют следующие способы описания сплошной среды на основе реальной среды:

1. Усреднение по некоторому физическому объёму Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru и времени Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru .

2. Статистическое усреднение. Считаем что у нас есть макроскопически-идентичный ансамбль систем(т.е. все внешние условия одинаковы). Здесь производятся измерения для отдельных ансамблей, а потом происходит усреднение. Этот способ более предпочтителен.

Усреднение будем обозначать символами «< >». Отметим, что усреднение коммутативно с дифференциальными операторами.

Итак, усредняем:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Среда под действием внешнего электромагнитного поля поляризуется, т.е. реагирует на внешнее воздействие. В случае, когда отсутствует пространственная дисперсия, поляризация характеризуется векторами электрической и магнитной поляризации Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru . Можно показать, что Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru и Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru выражаются через Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru :

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Введём обозначения: Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru ; Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Перенесём второе слагаемое из правой части в левую и объединим его с Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru :

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Итак, уравнения Максвелла для среды имеют вид:

Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии - student2.ru

Наши рекомендации