Дифференциальные уравнения

При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если

y¢ = f(x),

или dy = f(x)dx. Решение, как известно, дается формулой

y = ò f(x)dx

и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла. Однако на практике значительно чаще встречается гораздо более сложная задача: найти функцию y, если известно, что она удовлетворяет данному соотношению вида

F(x, y, y¢, y¢¢,..., y⁽ⁿ⁾) = 0. (4.1)

Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n включительно, называются дифференциальными уравнениями.

В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной является функция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Например:

y¢ - x²y + x³ = 0 - уравнение первого порядка,

y¢¢ + 4y¢ + cos x = 0 - уравнение второго порядка,

x y⁽⁵⁾ + yy¢¢¢ = 1 - уравнение пятого порядка и т. д.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y нам удалось получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с₁, с₂,..., c_n и имеет вид

y = j(x, с₁, с₂,..., c_n).

Если соотношение, связывающее x, y и n произвольных постоянных, получено в виде, не разрешенном относительно y -

Ф(x, y, с₁, с₂,..., c_n) = 0,

то будем называть такое соотношение общим интегралом уравнения (4.1).

В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когда постоянным с₁, с₂,..., c_n придают конкретные числовые значения.

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, в случае уравнения n-го порядка - от n произвольных постоянных.

В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение для уравнения n-го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:

y(x_o) = y_o, y¢(x_o) = y_o¢,..., y^(n-1)(x_o) = y_o^(n-1),

по которым определяются n постоянных с₁, с₂,..., c_n. Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет общий вид

F(x, y, y¢) = 0,

или вид, разрешенный относительно y¢:

y¢ = f(x, y).

Пример 46. Найти общее решение уравнения y¢ = 3x.

Решение. Интегрируя, находим

y = ò 3x dx, y = 3x²/2 + C,

где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,

y = 3x²/2 (С= 0),

y = 3x²/2 + 5 (С = 5)

и т.д.

Пример 47. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Y_o обозначает начальную денежную сумму, а Y_x - денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

Y_x+1 = (1+r)Y_x,

где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

Y_x+1/2 = (1 + r/2)Y_x,

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Y_x+1/n = (1 + r/n)Y_x,

то есть

.

Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:

.

Неограниченно увеличивая n (при n®¥, h®0) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

,

то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Y_x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда Y_x = e ^{r x+C}, или Y_x = P e ^{r x,} где через P обозначено e^C.

Учитывая начальное условие Y(0) = Y_o, найдем P: Y_o = Pe^o, следовательно, Y_o = P. Решение имеет вид:

Y_x =Y_o e ^{r x}.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Пример 48. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид
Y = Y_o и D = D_o при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая
начальные условия, Y= Y_o e ^{k t}. Подставляя Y во второе уравнение, получаем dD/dt = qY_o e ^{k t.} Общее решение этого уравнения имеет вид
D = (q/ k) Y_o e ^{k t} +С, где С = const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем D_o = (q/ k)Y_o + С. Итак, окончательно,

D = D_o+(q/ k)Y_o (e ^{k t} -1),

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Простейшим дифференциальным уравнением n-го порядка является уравнение

y⁽ⁿ⁾ = f(x).

Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.

Пример 49.Решить уравнение y¢¢¢ = cos x.

Решение. Интегрируя, находим

y¢¢ = ò cos x dx = sin x + C_1,

y¢ = ò (sin x + C₁)dx = - cos x + C₁x + С_2,

y = ò (- cos x + C₁x +C₂)dx = - sin x + C₁x²/2 +C₂x+C₃.

Итак, общее решение

y = - sin x + C₁x²/2 +C₂x+C₃.

В математической экономике большое применение находят линейные дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если имеет вид:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y¢(x) + р_n(x)y(x) = f(x), (9.2)

где р_o(x), р₁(x),..., р_n(x), f(x) - данные функции. Если f(x) º 0, то уравнение (9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y¢(x) + р_n(x)y(x) = 0. (9.3)

Если коэффициенты р_o(x), р₁(x),..., р_n(x) постоянные, то уравнение (9.2) принимает вид:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = f(x) (9.4)

и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = 0. (4.5)

Без ограничения общности можно положить р_o = 1 и записать уравнение (4.5) в виде

y⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = 0. (4.6)

Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e ^kx, где k - постоянная. Имеем: y¢ = ke ^kx, y¢¢ = k² e ^kx,..., y⁽ⁿ⁾ = kⁿ e ^kx_. Подставляя полученные выражения в (9.6), будем иметь:

e ^kx (kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n) = 0.

Т.к. e ^kx ¹ 0, то

kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n = 0. (4.7)

Равенство (4.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (4.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n-й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если k₁, k₂,..., k_n - действительные и различные корни уравнения (4.7), то - частные решения уравнения (4.7), а общее имеет вид

y = .

Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y¢¢ + рy¢ +qy = 0. (4.8)

Его характеристическое уравнение имеет вид

k² + рk + q=0 (4.9)

и в зависимости от значения дискриминанта D = р² - 4q возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k₁ и k₂ уравнения (4.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид:

y = c₁ exр(k₁x) + c₂ exр(k₂x).

2. Если D = 0, т.е. корни k₁ и k₂ действительные и равные, то общее решение находится по формуле:

y = (c₁ + c₂x) exр (k₁x).

3. Если D<0, то корни комплексные, k₁ = a + bi, k₂ = a - bi, где i - мнимая единица. Тогда общее решение таково:

y = (c₁ cos bx+c₂ sin bx) exр (ax).

Пример 50.Решить уравнение y¢¢ - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k² - 1 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = -1 действительны и различны. Общее решение:

y = c₁e ^x + c₂e ^-x.

Пример 51. Найти общее решение уравнения y¢¢- 4y¢ + 4y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде:
k² -4k +4 = 0 или (k - 2)² = 0, т.е. имеет равные корни k₁= k₂ =2, значит, общее решение данного уравнения находится по формуле:

y = e^2x(c₁+c₂x).

Пример 52. Найти общее решение уравнения y¢¢+9y = 0.

Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k: k²+9 = 0, откуда k = ±3i, Þ a = 0, b = 3, значит, общее решение имеет вид:

y = c₁ cos 3x + c₂ sin 3x.

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены P зависит от величины запаса. Если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть

D = a +aP, S =b+bP,

а l есть постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:

+ l (b - a) P = l (a - b).

В качестве частного решения можно взять постоянную

P =`P = (a - b)/(b - a),

имеющую смысл цены равновесия. Отклонение р = P -`P удовлетворяет тогда однородному уравнению

+ l (b - a) р = 0. (4.10)

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение, в котором неизвестная обозначена через k, будет следующее:

k² + l (b - a) = 0.

В обычном случае (a<0, b>0, l>0) член l (b - a) положителен. Введем обозначение w = . Тогда корни характеристического уравнения будут k _1,2 = ± i w. Следовательно, общее решение уравнения (4.10) имеет вид:

р = C cos (wt-e),

где C и e представляют собой произвольные постоянные, которые определяются единственным образом, если заданы начальные условия. Следовательно, присоединив `P, получим закон изменения цены во времени:

P = `P+ C cos (wt-e).

Разностные уравнения

На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Y_x, представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x. Пусть сумма Y_o положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада (x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Y_x. Мы получаем

Y_x = (1+r)Y_x-1.

Если начальная сумма составляет Y_o, мы приходим к задаче отыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному условию Y_x = Y_o при x = 0. Полученное разностное уравнение содержит Y_x и значение этой переменной на один год раньше, т.е. Y_x-1; в данном случае аргумент x явно не входит в разностное уравнение.

Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает связь между значениями функции Y = Y(x), рассматриваемой для ряда равноотстоящих значений аргумента x, но можно без ограничения общности считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть x, то ряд его равноотстоящих значений будет x, x+1, x+2,... и в обратном направлении: x, x-1, x-2,.... Соответствующие значения функции будем обозначать Y_x,Y_x+1,Y_x+2,... или Y_x, Y_x-1, Y_x-2,.... Определим так называемые разности различных порядков функции Y_x с помощью следующих формул:

Разности первого порядка

D Y_x = Y_x+1 - Y_x,

D Y_x+1 =Y_x+2 - Y_x+1,

DY_x+2 = Y_x+3 - Y_x+2,

... ... ... ... ...

Разности второго порядка

D²Y_x= DY_x+1 - D Y_x,

D²Y_x+1= D Y_x+2 - DY_x+1,

D²Y_x+2= D Y_x+3 - DY_x+2,

... ... ... ... ...

Разности третьего порядка

D³Y_x= D²Y_x+1 - D²Y_x,

D³Y_x+1= D²Y_x+2 - D²Y_x+1,

... ... ... ... ...

Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x, его функцииY_x и разностей различных порядков этой функции DY_x, D²Y_x, D³Y_x,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:

j(x, Y_x, DY_x, D²Y_x D³Y_x, DⁿY_x) = 0, (5.1)

которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.

Порядком разностного уравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение. Разностное уравнение (5.1) часто удобнее записать, пользуясь не разностями неизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента, то есть выразить DY_x, D²Y_x, D³Y_x,... через Y_x, Y_x+1, Y_x+2,.... Уравнение (5.1) можно привести к одной из двух форм:

y(x, Y_x, Y_x+1,...,Y_x+n) = 0, (5.2)

x(x, Y_x, Y_x-1,...,Y_x-n) = 0. (5.3)

Общее дискретное решение Y_x обыкновенного разностного уравнения n-го порядка представляет функцию x (x = 0, 1. 2,...), содержащую ровно n произвольных постоянных:

Y_x = Y(x, C₁, C₂,..., C_n).

Паутинообразная модель. Пусть рынок какого-либо отдельного товара характеризуется следующими функциями спроса и предложения:

D = D(P), S = S(P).

Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или

D(P) = S(P).

Цена равновесия `P задается этим уравнением (которое может иметь множество решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через `X, - следующим уравнением:

`X = D (`P) = S(`P).

Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения. Простейшая модель в дискретном анализе включает неизменное запаздывание или отставание предложения на один интервал:

D_t = D (P_t) и S_t = S (P_t-1).

Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени, выбранный за интервал. Действие модели таково: при заданном P_t-1 предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде будет S (P_t-1), и величина P_t должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, P_t и объем покупок-продаж X_t характеризуются уравнением:

X_t = D (P_t) = S (P_t-1).

Итак, зная исходную цену P_o, с помощью этих уравнений мы можем получить значения P₁ и X_1. Затем, используя имеющуюся цену P_1, из соответствующих уравнений получим значения P₂ и X₂ и т.д. В общем изменение P_t характеризуется разностным уравнением первого порядка (одноинтер­вальное отставание):

D (P_t) = S (P_t-1).

Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис.5, где D и S - соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями `P и `X) соответствует точке их пересечения Q. Цена в начальный момент времени равна P_o. Соответствующая точка Q_o на кривой S дает объем предложения в период 1. Весь этот предложенный объем товара раскупается при цене P₁, заданной точкой Q₁ на кривой D с той же ординатой (X₁), что и Q_o. Во второй период времени движение происходит сначала по вертикали от точки Q₁ к точке на кривой S, дающей X_2, а затем по горизонтали - к точке Q₂ на кривой D. Последняя точка характеризует P₂. Продолжение этого процесса и дает график паутины, показанный на рис. 5. Цены и объемы (покупок - продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Q₁, Q₂, Q₃,... на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремится к Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q. Следовательно, и значения цены P_t стремятся к `P, располагаясь поочередно по обе стороны от`P. Точно так же обстоит дело и с объемами покупок - продаж (X _t).

X

S

(D; S)

x₂ Q₂

Q

`x

x₃ Q₃

x₁ Q₀ Q₁

D

O P₀ P₂ `P P₃ P₁ P

Рис. 5.

Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса и предложения: D = a +aP, S = b +bP. Значения равновесия `P и `X будут заданы уравнениями

`X = a +a`P = b +b`P,

то есть

`P = (a - b)/(b - a), `X = (ba - ab)/(b - a). (5.4)

Дискретная динамическая модель задается уравнением

X _t = a +aP _t = b +bP _t-1. (5.5)

Ищем сначала решение, дающее равновесие. Для этого положим P _t = `P, X <sub>t</sub> = `X для всех значений t:

`X = a +a`P = b +b`P. (5.6)

Получаем те же значения `P и `X, что и в (5.4). Следовательно, если в каком-либо периоде существовали цены и объемы, обеспечивающие равновесие, то в динамической модели (5.5) они сохранятся и в последующих периодах.

Вычтем уравнение (5.6) из (5.5) и положим р _t = P _t -`P, x <sub>t</sub> = X <sub>t</sub> -`X. Тогда

x _t = aр _t = bр _t-1. (5.7)

Уравнения (5.7) аналогичны (5.5), за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первого порядка. Положим c = b/a и подставим его в уравнение (5.7), так что разностное уравнение относительно р _t будет

р _t = c р _t-1. (5.8)

При данном значении р _o в момент t = 0 из (5.8) получаем решение:

р _t = р_o c ^t,

или

P _t = `P + (P<sub>o</sub> - `P) c ^t.