Тема: Применение производной

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

2. Схема исследования функции у=f(х) на экстремум

3. Точки перегиба. Асимптоты функции

4. Общее исследование функции

5. Правило Лопиталя

Функция у=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если для любых x₁,x₂ є Х, таких, что х₂>х₁, верно (для убывающей ).

Теорема 1 (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции f(х), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется: . .

Максимум и минимум функции (т.е. значения функции в точках максимума и минимума) называют экстремумом функции.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Для того, чтобы функция у=f(x) имела экстремум в точке х=х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала (например, равнялась ).

Точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими. Эти точки должны входить в область определения функции.

Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через критическую точку х₀ (слева направо) производная дифференцируемой функции у=f(х) меняет свой знак с плюса на минус, то х₀ – точка максимума функции у=f(х), а если с минуса на плюс – то точка минимума. (Если производная не меняет знак, то экстремума нет).

Схема исследования функции у=f(х) на экстремум

1. Найти производную у¢=f¢(x)

2. Найти критические точки функции (т.е. решить уравнение f¢(x)=0 и определить точки, в которых f¢(x) не существует); расположить их в порядке возрастания.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти значение функции в точках экстремума.

Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная f¢(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f²(x₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции y=f(x); если f²(x) отрицательна, то х₀- точка максимума. Если f^²(x)=0; то исследование нужно провести по первому достаточному условию.

Для отыскания набольшего и наименьшего значений на отрезке, нужно найти значение функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Замечание 1) Если отрезок, на котором нужно определить наибольшее и наименьшее значение не содержит критических точек, тогда определяют значение функции только на концах отрезка.

2) Если в рассмотренном интервале имеется единственный экстремум, то в критической точке функция достигает наименьшего или наибольшего значения (в зависимости от того, максимум или минимум в этой точке).