Функции нескольких переменных. Основные определения
Если в кажд.паре чисел x,y с D на плоскости, поставлено в соответствии некот.число zcG по некот. правилу, то говорят, что на мн-ве D задана ф-ция 2-х переменных zcF(x,y – независимые пер., z – зависимая переменная).
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.М(х0,y0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у выполняется нерав-во |f(x,y)-A|<E
Z=f(х;у) непрерывна в т.(х0,y0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х0 и у к у0; - этот предел = знач-ю ф-ции в т.(х0,y0), т.е. limf(х;у)=f(х0,y0)
Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области
Частные производные функции двух переменных.
Зафиксируем т.М(x0,y0) и вычислим значение z=f(x0,y0). Затем одну переменную х будем изменять, а у будет постоянной. Дадим значению x0 значение ∆х. f(x0+∆x).
Пусть х – приращение независимой переменной х в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная zx = f(x0+ х, y0)-f(x0,y0) называется частным приращением в точке. Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x0,y0+ у)–f(x0,y0)
z’x =
Предел отношения = , если он сущ. и конечен, назыв. частной производной по аргументу х, y=const.
Аналогично определяется ЧП по аргументу у.
Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной.
Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х , у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const.
Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания.
Частные производные высших порядков.
Частная производная 2-го порядка
Дифференциал функции двух переменных.
z = f(x,y) явл. дифференц., если
∆z = (полное приращение).
Дифференциал ф-ции – .
Применение дифференциалов, приближённых к вычислению.
Экстремум функции двух переменных.
Точки называются max или min z = f(x,y), если существуют некоторые отрезки такие, что для всех x и y из этой окрестности f(x,y)<f или
f(x,y)>f .
Если задана точка экстремума функции 2-х переменных, то значение частных производных в этой точке равны 0.
Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими. Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума.
Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка,
A = B = C =
, тогда
1) , причем maxA<0, minA>0.
2) экстремума нет.
3) он может и не может быть.