Функции нескольких переменных

Если каждой паре (x, y) D по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение z E, то говорят, что на множестве D задана функция двух переменных z = f(x, y).

(x, y) называются независимыми переменными (аргументами); z – зависимая переменная (функция),

D – область определения функции z, т. е. множество всех значений (x, y), при которых функция существует, имеет смысл.

E – область значений функции.

Уравнение z = f(x, y) описывает поверхность в пространстве, область D – фигура на плоскости.

Для функции z = f(x, y) можно составить три вида приращений:

1) частное приращение по аргументу x

,

2) частное приращение по аргументу y

,

3) полное приращение

.

Если существует конечный предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующего аргумента при условии, когда последнее стремится к нулю, то этот предел называется частной производной по соответствующему аргументу и обозначается

.

Полным дифференциалом функции называется величина

,

где dx и dy – дифференциалы независимых переменных.

Градиент функции z(x, y):

.

Производная функции z(x,y) по направлению вектора :

равна проекции вектора grad z на направление вектора . В направлении градиента происходит быстрое возрастание функции в данной точке.

Уравнение касательной плоскости к поверхности Ф(x,y,z)=0 в точке имеет вид:

.

Дивергенция вектора

.

Ротор вектора

.

Вторыми частными производными функции z=z(x,y) называются частные производные от ее частных производных.

(другие обозначения ). Смешанные производные и равны, если они непрерывны.

Экстремум функции нескольких переменных.

Необходимое условие: Если является точкой экстремума функции z=f(x, y), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю или не существуют.

Точки, удовлетворяющие этой системе, называются критическими.

Достаточное условие:

Если в критической точке (x₀, y₀) функции z = f(x,y) существуют и непрерывны производные

и , то эта точка является точкой минимума при ,

максимума при . Если , то критическая точка не является точкой экстремума.

Координаты точек условного минимума (максимума) функции z = f(x,y) при условии удовлетворяют системе уравнений ,

где - функция Лагранжа, - множитель Лагранжа.

Пример: Исследовать на экстремум функцию .

Решение: Найдем частные производные , .

Приравнивая их к нулю, получим систему ,

из решения которой определим критическую точку (-3; 0). Найдем вторые частные производные: .

Тогда , следовательно функция z в точке (-3; 0) имеет минимум равный .

Ответ: z_min=-13 при x=-3 , y=0.

Упражнения.

3.1. Найти уравнения и выполнить построение линий уровня функции:

a) ; b) ;

c) ;

d) ; e) ;

f) .

3.2. Найти частные производные функции:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

3.3. Найти экстремум функций:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ;

f) .